在总体N(12,4)中抽取容量为5的简单随机样本，则P(max(X_1,...,X_5) >15)=(）A. 1-Phi^5(1.5)B. 1-Phi(1.5)C. [1-Phi(1.5)]^5D. Phi^5(1.5)

本题考查正态分布以及样本最大值的概率计算。解题的关键思路是先明确总体的分布，再求出单个样本小于等于某个值的概率，最后利用样本最大值的性质来计算$P(\maxmax(X_1,\cdots,X_5) >15)$。

1. 确定总体分布及标准化：
   已知总体$X\sim N(12,4)$，即总体服从均值$\mu = 12$，方差$\sigma^2 = 4$的正态分布，那么标准差$\sigma=\sqrt{4} = 2$。
   设$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}=\frac{X - 12\over 2}$，则$Z\sim N(0,1)$，$\varPhi(z)$为标准正态分布$N(0,1)$的分布函数。
2. 计算$P(X\leqslant15)$：
   对$P(X\leqslant15)$进行标准化，$P(X\leqslant15)=P\left(\frac{X - 12}{2}\leqslant\frac{15 - 12}{2}\right)=P\left(Z\leqslant\frac{3}{2}\right)=P(Z\leqslant1.5)=\varPhi(1.5)$。
3. 计算$P(\max(X_1,\cdots,X5)\leqslant15)$：
   因为$\max(X_1,\cdots,X_5)\leqslant15$等价于$X_1\leqslant15,X_2\leqslant15,\cdots,X_5\leqslant15$同时成立，且$X_1,X_2,\cdots,X_5$相互独立，所以$P(\max(X_1,\cdots,X_5)\leqslant15)=P(X_1\leqslant15,X_2\leqslant15,\cdots,X_5\leqslant15)$。
   根据独立事件概率的乘法公式$P(AB)=P(A)P(B)$（$A,B$为独立事件），可得$P(X_1\leqslant15,X_2\leqslant15,\cdots,X_5\leqslant15)=P(X_1\leqslant15)P(X_2\leqslant15)\cdots P(X_5\leqslant15)$。
   由步骤2可知$P(X\leqslant15)=\varPhi(1.5)$，所以$P(\max(X_1,\cdots,X_5)\leqslant15)=\varPhi^5(1.5)$。
4. 计算$P(\max(X_1,\cdots,X5)>15)$：
   因为$\{\max(X_1,\cdots,X_5)>15\}$与$\{\max(X_1,\cdots,X_5)\leqslant15\}$是对立事件，根据对立事件概率的性质$P(A)=1 - P(\overline{A})$（$A$为事件，$\overline{A}$为$A$的对立事件），可得$P(\max(X_1,\cdots,X_5)>15)=1 - P(\max(X_1,\cdots,X_5)\leqslant15))=1-\varPhi^5(1.5)$。