题目
1.一批产品中有一等品50%,二等品30 %,三等品20%,从中有放回地抽取5件,以-|||-X,Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数,求(X,Y)的分布律.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X表示取出的5件产品中一等品的件数，Y表示取出的5件产品中二等品的件数。由于是有放回地抽取，所以每次抽取都是独立的，且每次抽取一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.3，三等品的概率为0.2。
步骤 2：确定联合分布律
由于每次抽取都是独立的，所以X和Y的联合分布律可以表示为二项分布的乘积。具体来说，对于任意的i和j，其中i+j≤5，有：
\[ P(X=i,Y=j) = \binom{5}{i} (0.5)^i \binom{5-i}{j} (0.3)^j (0.2)^{5-i-j} \]
这里，\(\binom{5}{i}\)表示从5件产品中选择i件一等品的组合数，\(\binom{5-i}{j}\)表示从剩余的5-i件产品中选择j件二等品的组合数。
步骤 3：简化联合分布律
由于每次抽取都是独立的，所以可以将上述公式简化为：
\[ P(X=i,Y=j) = \binom{5}{i,j,5-i-j} (0.5)^i (0.3)^j (0.2)^{5-i-j} \]
这里，\(\binom{5}{i,j,5-i-j}\)表示从5件产品中选择i件一等品、j件二等品和5-i-j件三等品的组合数，即：
\[ \binom{5}{i,j,5-i-j} = \frac{5!}{i!j!(5-i-j)!} \]
设随机变量X表示取出的5件产品中一等品的件数，Y表示取出的5件产品中二等品的件数。由于是有放回地抽取，所以每次抽取都是独立的，且每次抽取一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.3，三等品的概率为0.2。
步骤 2：确定联合分布律
由于每次抽取都是独立的，所以X和Y的联合分布律可以表示为二项分布的乘积。具体来说，对于任意的i和j，其中i+j≤5，有：
\[ P(X=i,Y=j) = \binom{5}{i} (0.5)^i \binom{5-i}{j} (0.3)^j (0.2)^{5-i-j} \]
这里，\(\binom{5}{i}\)表示从5件产品中选择i件一等品的组合数，\(\binom{5-i}{j}\)表示从剩余的5-i件产品中选择j件二等品的组合数。
步骤 3：简化联合分布律
由于每次抽取都是独立的，所以可以将上述公式简化为：
\[ P(X=i,Y=j) = \binom{5}{i,j,5-i-j} (0.5)^i (0.3)^j (0.2)^{5-i-j} \]
这里，\(\binom{5}{i,j,5-i-j}\)表示从5件产品中选择i件一等品、j件二等品和5-i-j件三等品的组合数，即：
\[ \binom{5}{i,j,5-i-j} = \frac{5!}{i!j!(5-i-j)!} \]