题目
(13). 设随机变量 X_1 ,X_2 ,X_3 相互独立，其中 X_1 sim U[0,6] , X_2 sim N(0,2^2) , X_3 服从参数为 lambda=3 的泊松分布，记 Y=X_1 -2X_2 +3X_3 ，则 D(Y)=（ ）。A. 28B. 46C. 22.95D. 34.22
(13). 设随机变量 $ X_1 ,X_2 ,X_3 $ 相互独立，其中 $ X_1 \sim U[0,6] $ , $ X_2 \sim N(0,2^2) $ , $ X_3 $ 服从参数为 $ \lambda=3 $ 的泊松分布，记 $ Y=X_1 -2X_2 +3X_3 $，则 $ D(Y)=$（ ）。
A. 28
B. 46
C. 22.95
D. 34.22
题目解答
答案
B. 46
解析
步骤 1：计算 $X_1$ 的方差
$X_1$ 服从均匀分布 $U[0,6]$，其方差 $D(X_1)$ 可以通过公式 $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ 计算，其中 $a=0$，$b=6$。因此，$D(X_1) = \frac{(6-0)^2}{12} = \frac{36}{12} = 3$。
步骤 2：计算 $X_2$ 的方差
$X_2$ 服从正态分布 $N(0,2^2)$，其方差 $D(X_2)$ 直接给出为 $2^2 = 4$。
步骤 3：计算 $X_3$ 的方差
$X_3$ 服从参数为 $\lambda=3$ 的泊松分布，其方差 $D(X_3)$ 等于其参数 $\lambda$，即 $D(X_3) = 3$。
步骤 4：计算 $Y$ 的方差
$Y = X_1 - 2X_2 + 3X_3$，由于 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，$Y$ 的方差 $D(Y)$ 可以通过公式 $D(aX+bY+cZ) = a^2D(X) + b^2D(Y) + c^2D(Z)$ 计算，其中 $a=1$，$b=-2$，$c=3$。因此，$D(Y) = 1^2D(X_1) + (-2)^2D(X_2) + 3^2D(X_3) = 1 \times 3 + 4 \times 4 + 9 \times 3 = 3 + 16 + 27 = 46$。
$X_1$ 服从均匀分布 $U[0,6]$，其方差 $D(X_1)$ 可以通过公式 $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ 计算，其中 $a=0$，$b=6$。因此，$D(X_1) = \frac{(6-0)^2}{12} = \frac{36}{12} = 3$。
步骤 2：计算 $X_2$ 的方差
$X_2$ 服从正态分布 $N(0,2^2)$，其方差 $D(X_2)$ 直接给出为 $2^2 = 4$。
步骤 3：计算 $X_3$ 的方差
$X_3$ 服从参数为 $\lambda=3$ 的泊松分布，其方差 $D(X_3)$ 等于其参数 $\lambda$，即 $D(X_3) = 3$。
步骤 4：计算 $Y$ 的方差
$Y = X_1 - 2X_2 + 3X_3$，由于 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，$Y$ 的方差 $D(Y)$ 可以通过公式 $D(aX+bY+cZ) = a^2D(X) + b^2D(Y) + c^2D(Z)$ 计算，其中 $a=1$，$b=-2$，$c=3$。因此，$D(Y) = 1^2D(X_1) + (-2)^2D(X_2) + 3^2D(X_3) = 1 \times 3 + 4 \times 4 + 9 \times 3 = 3 + 16 + 27 = 46$。