函数(x)=dfrac (x-{x)^3}(sin pi x)的可去间断点的个数为( )A.1B.2C.3D.无穷多个

考查要点：本题主要考查函数间断点类型的判断，特别是可去间断点的判定条件。需要结合分母为零的点进行分析，并利用极限存在性判断是否为可去间断点。

解题核心思路：

1. 确定函数的不连续点：分母$\sin(\pi x)=0$的解为$x=k$（$k$为整数）。
2. 判断各不连续点是否为可去间断点：计算$\lim\limits_{x \to k} f(x)$是否存在。若存在，则$x=k$为可去间断点。

破题关键点：

• 分子在$x=k$处的值：当$k=0, \pm1$时，分子$x-x^3$为0，此时极限可能存在；其他整数点分子不为0，极限趋向无穷。
• 泰勒展开简化计算：利用$\sin(\pi x) \approx \pi(x-k)$（当$x \to k$时），简化极限计算。

步骤1：确定不连续点

函数$f(x)=\frac{x-x^3}{\sin(\pi x)}$的分母$\sin(\pi x)=0$当且仅当$x=k$（$k$为整数），因此函数在所有整数点$x=k$处不连续。

步骤2：分析各不连续点的极限

当$k=0$时

• 分子：$x - x^3 \approx x$（高阶小项可忽略）。
• 分母：$\sin(\pi x) \approx \pi x$。
• 极限：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\pi x} = \frac{1}{\pi}$，存在。
• 结论：$x=0$是可去间断点。

当$k=1$时

• 分子：$x - x^3 = x(1-x)(1+x) \approx 1 \cdot 0 \cdot 2 = 0$。
• 分母：$\sin(\pi x) \approx \pi(x-1)$。
• 极限：$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x(1-x)(1+x)}{\pi(x-1)} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{-x(1+x)}{\pi} = -\frac{2}{\pi}$，存在。
• 结论：$x=1$是可去间断点。

当$k=-1$时

• 分子：$x - x^3 = x(1-x)(1+x) \approx (-1)(2)(0) = 0$。
• 分母：$\sin(\pi x) \approx \pi(x+1)$。
• 极限：$\lim\limits_{x \to -1} \frac{x(1-x)(1+x)}{\pi(x+1)} = \lim\limits_{x \to -1} \frac{-x(1-x)}{\pi} = \frac{2}{\pi}$，存在。
• 结论：$x=-1$是可去间断点。

其他整数点$k \neq 0, \pm1$

• 分子：$x - x^3 = k(1-k^2) \neq 0$。
• 分母：$\sin(\pi x) \approx \pi(x-k)$。
• 极限：$\lim\limits_{x \to k} \frac{k(1-k^2)}{\pi(x-k)}$趋向无穷，不存在。
• 结论：这些点为无穷间断点，非可去间断点。

步骤3：统计可去间断点个数

可去间断点为$x=0, 1, -1$，共3个。