题目
设总体 X 的方差 1 ，据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得均值 5 ，则 X 的期望的置信度为 0.95 的置信区间是 () (u_0.025 = 1.96)A. (4.804, 5.196)B. (-0.196, 0.196)C. (3.04, 6.96)D. (4.412, 5.558)
设总体 $X $的方差 $1 $，据来自 $X $的容量为 100 的简单随机样本，测得均值 $5 $，则 $X $的期望的置信度为 0.95 的置信区间是 () (u_0.025 = 1.96)
A. (4.804, 5.196)
B. (-0.196, 0.196)
C. (3.04, 6.96)
D. (4.412, 5.558)
题目解答
答案
A. (4.804, 5.196)
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
对于大样本（n ≥ 30），总体均值的置信区间可以使用正态分布来计算。置信区间的公式为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：代入已知值
根据题目，样本均值 $\bar{x} = 5$，总体方差 $\sigma^2 = 1$，因此总体标准差 $\sigma = \sqrt{1} = 1$，样本容量 $n = 100$，置信度为 0.95，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
将已知值代入公式，得到：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} \]
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{10} \]
\[ 5 \pm 0.196 \]
\[ (4.804, 5.196) \]
对于大样本（n ≥ 30），总体均值的置信区间可以使用正态分布来计算。置信区间的公式为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：代入已知值
根据题目，样本均值 $\bar{x} = 5$，总体方差 $\sigma^2 = 1$，因此总体标准差 $\sigma = \sqrt{1} = 1$，样本容量 $n = 100$，置信度为 0.95，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
将已知值代入公式，得到：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} \]
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{10} \]
\[ 5 \pm 0.196 \]
\[ (4.804, 5.196) \]