5.单选题 lim_(ntoinfty)2^nsin(pi)/(2^n-1)=()A. 2piB. ∞C. 0D. pi

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是涉及指数函数与三角函数乘积的极限，需要灵活运用等价无穷小替换或变量代换的方法。

解题核心思路：
当$n \to \infty$时，$\frac{\pi}{2^{n-1}} \to 0$，此时$\sin x \approx x$（等价无穷小）。将原式中的$\sin$项替换为对应的角，再化简即可得到结果。关键在于正确识别可替换的项，并简化表达式。

破题关键点：

1. 观察到$\sin\frac{\pi}{2^{n-1}}$中的角趋近于0，应用等价无穷小$\sin x \sim x$。
2. 通过代数变形，将复杂的表达式转化为简单的常数。

步骤1：应用等价无穷小替换
当$n \to \infty$时，$\frac{\pi}{2^{n-1}} \to 0$，因此：
$\sin\frac{\pi}{2^{n-1}} \sim \frac{\pi}{2^{n-1}}.$

步骤2：代入原式并化简
将等价关系代入原式：
$2^{n} \cdot \sin\frac{\pi}{2^{n-1}} \sim 2^{n} \cdot \frac{\pi}{2^{n-1}} = 2^{n} \cdot \frac{\pi}{2^{n} \cdot 2^{-1}} = 2^{n} \cdot \frac{\pi}{2^{n}} \cdot 2 = 2\pi.$

结论：
极限值为$2\pi$，对应选项A。