[2.4]已知总体X的概率密度为-|||-f(x)= {e)^-dfrac (x{theta )},xgt 0 0,xleqslant 0 .-|||-其中未知参数 theta gt 0. 设X1,X2,···,Xn为取自总体X的一个样本,-|||-(1)求θ的最大似然估计量;-|||-(2)试问该估计量是否为无偏估计量?说明理由.

步骤 1：构造似然函数
给定样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，似然函数 $L(\theta)$ 定义为样本观测值出现的概率，即 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$。对于给定的概率密度函数 $f(x)$，似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{X_i}{\theta}} = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i}
$$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$：
$$
\ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i
$$
步骤 3：求导并求解
对对数似然函数 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零，求解 $\theta$：
$$
\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i = 0
$$
解得 $\theta$ 的最大似然估计值为：
$$
\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \overline{X}
$$
步骤 4：验证无偏性
为了验证 $\hat{\theta}$ 是否为无偏估计量，我们需要计算 $E(\hat{\theta})$。由于 $X_i$ 服从指数分布，其期望值为 $\theta$，因此：
$$
E(\hat{\theta}) = E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \theta
$$
因此，$\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。