若 x in R^+，则下列不等式中一定成立的是（ ）。A. x^sin x = e^sin x ln xB. x^sin x = e^x ln (sin x)C. x^sin x = e^ln (x sin x)D. x^sin x = e^(ln x)/(sin x)

本题考查指数与对数的转换关系，核心思路是将幂函数表达式转化为自然指数形式。关键点在于：

1. 公式记忆：$a^b = e^{b \ln a}$，这是解决本题的核心公式；
2. 定义域分析：需注意选项中对数函数的自变量是否为正，以及表达式是否等价。

选项分析

选项A

根据公式 $a^b = e^{b \ln a}$，将 $x^{\sin x}$ 转换为自然指数形式：
$x^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln x}$
与选项A完全一致，正确。

选项B

表达式为 $e^{x \ln (\sin x)}$，存在两处错误：

1. 定义域问题：$\sin x$ 可能为负数或零，导致 $\ln (\sin x)$ 无意义；
2. 结构错误：正确形式应为 $\sin x \cdot \ln x$，而非 $x \cdot \ln (\sin x)$。

选项C

表达式为 $e^{\ln (x \sin x)}$，化简后：
$e^{\ln (x \sin x)} = x \sin x$
与原式 $x^{\sin x}$ 不等价，错误。

选项D

表达式为 $e^{\frac{\ln x}{\sin x}}$，化简后：
$e^{\frac{\ln x}{\sin x}} = x^{\frac{1}{\sin x}}$
与原式 $x^{\sin x}$ 不等价，错误。