题目
-17 半径为R =2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管,管内磁场可视为均匀磁场,管外磁场可近似看作零.若通电电流均匀变化,使得磁感强度B 随时间的变化率dB为常量,且为正值,试求:(1) 管内外由磁场变化激发的感生电场分布;(2) 如dB,求距螺线管中心轴r =5.0 cm处感生电场的大小和方向.dB
-17 半径为R =2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管,管内磁场可视为均匀磁场,管外磁场可近似看作零.若通电电流均匀变化,使得磁感强度B 随时间的变化率
为常量,且为正值,试求:(1) 管内外由磁场变化激发的感生电场分布;(2) 如
,求距螺线管中心轴r =5.0 cm处感生电场的大小和方向.
为常量,且为正值,试求:(1) 管内外由磁场变化激发的感生电场分布;(2) 如,求距螺线管中心轴r =5.0 cm处感生电场的大小和方向.
题目解答
答案
分析 变化磁场可以在空间激发感生电场,感生电场的空间分布与场源———变化的磁场(包括磁场的空间分布以及磁场的变化率等)密切相关,即
.在一般情况下,求解感生电场的分布是困难的.但对于本题这种特殊情况,则可以利用场的对称性进行求解.无限长直螺线管内磁场具有柱对称性,其横截面的磁场分布如图所示.由其激发的感生电场也一定有相应的对称性,考虑到感生电场的电场线为闭合曲线,因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆(若电场线是其他类型的曲线则与其对称性特点不符),同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等,方向沿圆周的切线方向.图中虚线表示r R 两个区域的电场线.电场线绕向取决于磁场的变化情况,由楞次定律可知,当 
时,电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系;当
时,电场线绕向与前者相反.
等)密切相关,即.在一般情况下,求解感生电场的分布是困难的.但对于本题这种特殊情况,则可以利用场的对称性进行求解.无限长直螺线管内磁场具有柱对称性,其横截面的磁场分布如图所示.由其激发的感生电场也一定有相应的对称性,考虑到感生电场的电场线为闭合曲线,因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆(若电场线是其他类型的曲线则与其对称性特点不符),同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等,方向沿圆周的切线方向.图中虚线表示r 时,电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系;当时,电场线绕向与前者相反.解 如图所示,分别在r R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l(半径为r 的圆),依照右手定则,不妨设顺时针方向为回路正向.
(1) r 
r >R, 
由于,故电场线的绕向为逆时针.
,故电场线的绕向为逆时针.(2) 由于r >R,所求点在螺线管外,因此
将r、R、的数值代入,可得
,式中负号表示Ek的方向是逆时针的.
的数值代入,可得,式中负号表示Ek的方向是逆时针的.解析
步骤 1：确定感生电场的分布
根据题意，无限长直载流密绕螺线管的磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示。由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆。同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等，方向沿圆周的切线方向。电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当$\dfrac {dB}{dt}\lt 0$时，电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系；当$\dfrac {dB}{dt}\gt 0$时，电场线绕向与前者相反。
步骤 2：计算管内感生电场
在r < R 的区域内，选取半径为r 的圆作为闭合回路l，依照右手定则，设顺时针方向为回路正向。根据法拉第电磁感应定律，有：
$c=\int {E}_{k}\cdot d={E}_{k}\times 2\pi r=-\dfrac {d}{d}\int {B}_{1}\cdot dS=-\pi {r}^{2}\dfrac {dB}{dt}$
解得：${E}_{k}=-\dfrac {r}{2}\dfrac {dB}{dt}$
步骤 3：计算管外感生电场
在r > R 的区域内，选取半径为r 的圆作为闭合回路l，依照右手定则，设顺时针方向为回路正向。根据法拉第电磁感应定律，有：
$c=\{ \begin{matrix} {E}_{k}\cdot d={E}_{k}\cdot 2\pi r=-\dfrac {d}{dt}[ B\cdot dS=-\pi {R}^{2}\dfrac {dB}{dt}$
解得：${E}_{k}=-\dfrac {{R}^{2}}{2r}\dfrac {dB}{dt}$
步骤 4：计算r =5.0 cm处感生电场的大小和方向
由于r > R，所求点在螺线管外，因此${E}_{k}=-\dfrac {{R}^{2}}{2r}\dfrac {dB}{dt}$。将r、R、dB dt的数值代入，可得${E}_{k}=-4.0\times {10}^{-5}V\cdot {m}^{-1}$，式中负号表示Ek的方向是逆时针的。
根据题意，无限长直载流密绕螺线管的磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示。由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆。同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等，方向沿圆周的切线方向。电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当$\dfrac {dB}{dt}\lt 0$时，电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系；当$\dfrac {dB}{dt}\gt 0$时，电场线绕向与前者相反。
步骤 2：计算管内感生电场
在r < R 的区域内，选取半径为r 的圆作为闭合回路l，依照右手定则，设顺时针方向为回路正向。根据法拉第电磁感应定律，有：
$c=\int {E}_{k}\cdot d={E}_{k}\times 2\pi r=-\dfrac {d}{d}\int {B}_{1}\cdot dS=-\pi {r}^{2}\dfrac {dB}{dt}$
解得：${E}_{k}=-\dfrac {r}{2}\dfrac {dB}{dt}$
步骤 3：计算管外感生电场
在r > R 的区域内，选取半径为r 的圆作为闭合回路l，依照右手定则，设顺时针方向为回路正向。根据法拉第电磁感应定律，有：
$c=\{ \begin{matrix} {E}_{k}\cdot d={E}_{k}\cdot 2\pi r=-\dfrac {d}{dt}[ B\cdot dS=-\pi {R}^{2}\dfrac {dB}{dt}$
解得：${E}_{k}=-\dfrac {{R}^{2}}{2r}\dfrac {dB}{dt}$
步骤 4：计算r =5.0 cm处感生电场的大小和方向
由于r > R，所求点在螺线管外，因此${E}_{k}=-\dfrac {{R}^{2}}{2r}\dfrac {dB}{dt}$。将r、R、dB dt的数值代入，可得${E}_{k}=-4.0\times {10}^{-5}V\cdot {m}^{-1}$，式中负号表示Ek的方向是逆时针的。