题目
假设总体 X 服从区间 [0, theta]上的均匀分布，样本 X_1, X_2, dotsc, X_n 来自总体 X 。则未知参数 theta的极大似然估计量 hat(theta)为 () A. max(X_1, dotsc, X_n) B. 不存在C. 2overline(X) D. min(X_1, dotsc, X_n)
$$ 假设总体 $X $服从区间 $[0, \theta]$上的均匀分布，样本 $X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $来自总体 $X $。则未知参数 $\theta$的极大似然估计量 $\hat{\theta}$为 () $$
- A. $$ $\max(X\_1, \dotsc, X\_n)$ $$
- B. 不存在
- C. $$ $2\overline{X}$ $$
- D. $$ $\min(X\_1, \dotsc, X\_n)$ $$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解极大似然估计
极大似然估计是一种统计方法，用于估计参数值，使得观察到的数据最有可能出现。对于均匀分布 $[0, \theta]$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\theta}$，当 $0 \leq x \leq \theta$，否则为0。
步骤 2：写出似然函数
似然函数是概率密度函数的乘积，对于样本 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$，似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} = \frac{1}{\theta^n}$，当 $0 \leq X_i \leq \theta$ 对所有 $i$ 成立，否则为0。
步骤 3：确定极大似然估计量
为了使似然函数最大，$\theta$ 必须大于或等于所有样本值，即 $\theta \geq \max(X_1, X_2, \dotsc, X_n)$。因此，$\theta$ 的极大似然估计量为 $\hat{\theta} = \max(X_1, X_2, \dotsc, X_n)$。
极大似然估计是一种统计方法，用于估计参数值，使得观察到的数据最有可能出现。对于均匀分布 $[0, \theta]$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\theta}$，当 $0 \leq x \leq \theta$，否则为0。
步骤 2：写出似然函数
似然函数是概率密度函数的乘积，对于样本 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$，似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} = \frac{1}{\theta^n}$，当 $0 \leq X_i \leq \theta$ 对所有 $i$ 成立，否则为0。
步骤 3：确定极大似然估计量
为了使似然函数最大，$\theta$ 必须大于或等于所有样本值，即 $\theta \geq \max(X_1, X_2, \dotsc, X_n)$。因此，$\theta$ 的极大似然估计量为 $\hat{\theta} = \max(X_1, X_2, \dotsc, X_n)$。