题目
设随机变量X和Y的数学期望都是0，方差都是2，而相关系数为0.5，则_________A.5.4B.6.5C.5D.6
设随机变量X和Y的数学期望都是0，方差都是2，而相关系数为0.5，则
_________
A.5.4
B.6.5
C.5
D.6
题目解答
答案
E(X+Y)=0
解析
步骤 1：计算协方差
根据题目条件，随机变量X和Y的数学期望都是0，方差都是2，相关系数为0.5。协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数ρ和方差计算得出。
\[Cov(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{DX} \sqrt{DY} = 0.5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1\]
步骤 2：计算X+Y的方差
根据方差的性质，X+Y的方差可以表示为：
\[D(X+Y) = DX + DY + 2Cov(X,Y) = 2 + 2 + 2 \times 1 = 6\]
步骤 3：计算${(X+Y)}^{2}$
根据方差的定义，${(X+Y)}^{2}$可以表示为X+Y的方差加上其数学期望的平方。由于X和Y的数学期望都是0，所以X+Y的数学期望也是0。
\[E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0 + 0 = 0\]
因此，${(X+Y)}^{2} = D(X+Y) + {E(X+Y)}^{2} = 6 + 0 = 6$
根据题目条件，随机变量X和Y的数学期望都是0，方差都是2，相关系数为0.5。协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数ρ和方差计算得出。
\[Cov(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{DX} \sqrt{DY} = 0.5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1\]
步骤 2：计算X+Y的方差
根据方差的性质，X+Y的方差可以表示为：
\[D(X+Y) = DX + DY + 2Cov(X,Y) = 2 + 2 + 2 \times 1 = 6\]
步骤 3：计算${(X+Y)}^{2}$
根据方差的定义，${(X+Y)}^{2}$可以表示为X+Y的方差加上其数学期望的平方。由于X和Y的数学期望都是0，所以X+Y的数学期望也是0。
\[E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0 + 0 = 0\]
因此，${(X+Y)}^{2} = D(X+Y) + {E(X+Y)}^{2} = 6 + 0 = 6$