题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu 与 sigma^2 未知，待检验假设为 H_0: mu geq mu_0 rightarrow H_1: mu A. (X - mu_0)/(S/sqrt(n)) B. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n)) C. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n)) D. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n))
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 未知，待检验假设为 $H_0: \mu \geq \mu_0 \leftrightarrow H_1: \mu < \mu_0$，则在显著性水平 $\alpha$ 之下，$H_0$ 的拒绝域为 ____.
A. $\frac{X - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n)$
B. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1)$.
C. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha/2}(n)$.
D. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha/2}(n-1)$.
题目解答
答案
B. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1)$.
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 代替，因此检验统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定检验统计量的分布
由于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 未知，检验统计量 $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 3：确定拒绝域
对于左侧检验 $H_0: \mu \geq \mu_0$ 对 $H_1: \mu < \mu_0$，在显著性水平 $\alpha$ 下，拒绝域为： \[ T < -t_{\alpha}(n-1) \] 即： \[ \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1) \]
由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 代替，因此检验统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定检验统计量的分布
由于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 未知，检验统计量 $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 3：确定拒绝域
对于左侧检验 $H_0: \mu \geq \mu_0$ 对 $H_1: \mu < \mu_0$，在显著性水平 $\alpha$ 下，拒绝域为： \[ T < -t_{\alpha}(n-1) \] 即： \[ \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1) \]