设z = f(x, y)是区域D = (x, y) mid 0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1上的可微函数，f(0, 0) = 0，且dz|_((0, 0)) = 3dx + 2dy，求极限lim_(x to 0^+) (int_(0)^x^2 dt int_(x)^sqrt(t) f(t, u) , du)/(1 - 4sqrt(1 - x^4)).

我们来解决这个极限问题： --- ### **题目回顾** 设 $ z = f(x, y) $ 是定义在区域 $ D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\} $ 上的可微函数，满足： - $ f(0, 0) = 0 $ - $ dz|_{(0, 0)} = 3dx + 2dy $ 求极限： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_{0}^{x^2} dt \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \, du}{1 - 4\sqrt{1 - x^4}} $$ --- ### **解题思路** 我们分步分析这个极限的分子和分母，然后利用泰勒展开和极限的性质进行计算。 --- ### **第一步：理解分母** 分母是： $$ 1 - 4\sqrt{1 - x^4} $$ 我们先对 $ \sqrt{1 - x^4} $ 进行泰勒展开： $$ \sqrt{1 - x^4} = 1 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4) $$ 所以： $$ 1 - 4\sqrt{1 - x^4} = 1 - 4\left(1 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\right) = 1 - 4 + 2x^4 + o(x^4) = -3 + 2x^4 + o(x^4) $$ 所以分母的主项是 $ 2x^4 $，忽略常数项 $-3$（因为当 $ x \to 0 $ 时，$ x^4 \to 0 $，常数项是主导项）。 --- ### **第二步：分析分子** 分子是： $$ \int_{0}^{x^2} dt \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \, du $$ 我们先交换积分顺序。注意积分区域是： - $ t \in [0, x^2] $ - $ u \in [x, \sqrt{t}] $ 我们画出积分区域：对于每个 $ t \in [0, x^2] $，$ u \in [x, \sqrt{t}] $，所以 $ u \in [x, x] $（因为 $ \sqrt{t} \leq x $，因为 $ t \leq x^2 $），这说明这个区域实际上为空！ 我们再检查积分上下限： - 当 $ t \in [0, x^2] $，那么 $ \sqrt{t} \leq x $ - 所以 $ u \in [x, \sqrt{t}] $ 是不成立的，因为 $ \sqrt{t} \leq x $，所以积分下限大于上限，积分区域为空 所以： $$ \int_{0}^{x^2} dt \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \, du = 0 $$ 所以分子是 0，分母是 $ -3 + 2x^4 + o(x^4) \to -3 $，所以极限是： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{\text{有限值}} = 0 $$ --- ### **最终答案** $$ \boxed{0} $$ --- ### **补充说明** 我们也可以从函数的泰勒展开角度验证： 由于 $ f(0, 0) = 0 $，且 $ dz|_{(0, 0)} = 3dx + 2dy $，说明： $$ f(x, y) = 3x + 2y + o(x^2 + y^2) $$ 代入积分： $$ \int_{0}^{x^2} dt \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \, du = \int_{0}^{x^2} dt \int_{x}^{\sqrt{t}} (3t + 2u + o(t^2 + u^2)) \, du $$ 由于积分区域为空，所以整个积分仍然为 0。 --- ### ✅ **结论** $$ \boxed{0} $$