题目
设X1,X2,···,Xn是来自正态总体N(0,σ^2)的一个简单随机样本,则样本-|||-二阶原点矩 _(2)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2 的数学期望与方差为 () .-|||-(A)σ^2与2σ^4 (B)σ^2与3σ^4 (C)σ^2与 dfrac (2{sigma )^4}(n) (D)σ^2与 dfrac (4{a)^4}(n)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本二阶原点矩的数学期望
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的一个简单随机样本，每个 $X_i$ 的期望为 $E(X_i) = 0$，方差为 $Var(X_i) = \sigma^2$。因此，样本二阶原点矩 $A_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$ 的数学期望为：
$$
E(A_2) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \sigma^2 = \sigma^2
$$
步骤 2：计算样本二阶原点矩的方差
样本二阶原点矩 $A_2$ 的方差为：
$$
Var(A_2) = Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i^2)
$$
由于 $X_i$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的一个简单随机样本，$X_i^2$ 的分布为卡方分布 $\chi^2(1)$，其方差为 $2\sigma^4$。因此，样本二阶原点矩 $A_2$ 的方差为：
$$
Var(A_2) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}2\sigma^4 = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2\sigma^4 = \frac{2\sigma^4}{n}
$$
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的一个简单随机样本，每个 $X_i$ 的期望为 $E(X_i) = 0$，方差为 $Var(X_i) = \sigma^2$。因此，样本二阶原点矩 $A_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$ 的数学期望为：
$$
E(A_2) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \sigma^2 = \sigma^2
$$
步骤 2：计算样本二阶原点矩的方差
样本二阶原点矩 $A_2$ 的方差为：
$$
Var(A_2) = Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i^2)
$$
由于 $X_i$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的一个简单随机样本，$X_i^2$ 的分布为卡方分布 $\chi^2(1)$，其方差为 $2\sigma^4$。因此，样本二阶原点矩 $A_2$ 的方差为：
$$
Var(A_2) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}2\sigma^4 = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2\sigma^4 = \frac{2\sigma^4}{n}
$$