题目
2.设X,Y为两个相互独立的随机变量,且均服从正态分布 (0,dfrac (1)(2)), 求 (|x-y|).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量Z
设 $Z = X - Y$，其中 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，且均服从正态分布 $N(0, \frac{1}{2})$。
步骤 2：确定Z的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的，且均服从正态分布 $N(0, \frac{1}{2})$，根据正态分布的性质，$Z$ 也服从正态分布，且 $Z \sim N(0, 1)$。这是因为 $Z$ 的均值为 $0$，方差为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。
步骤 3：计算期望值
$E(|X - Y|) = E(|Z|)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。根据正态分布的性质，$E(|Z|)$ 可以通过积分计算得到：
$$
E(|Z|) = \int_{-\infty}^{+\infty} |z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
$$
由于 $|z|$ 是偶函数，积分可以简化为：
$$
E(|Z|) = 2 \int_{0}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
$$
令 $u = \frac{z^2}{2}$，则 $du = z dz$，积分变为：
$$
E(|Z|) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} du = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \cdot 1 = \sqrt{\frac{2}{\pi}}
$$
设 $Z = X - Y$，其中 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，且均服从正态分布 $N(0, \frac{1}{2})$。
步骤 2：确定Z的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的，且均服从正态分布 $N(0, \frac{1}{2})$，根据正态分布的性质，$Z$ 也服从正态分布，且 $Z \sim N(0, 1)$。这是因为 $Z$ 的均值为 $0$，方差为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。
步骤 3：计算期望值
$E(|X - Y|) = E(|Z|)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。根据正态分布的性质，$E(|Z|)$ 可以通过积分计算得到：
$$
E(|Z|) = \int_{-\infty}^{+\infty} |z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
$$
由于 $|z|$ 是偶函数，积分可以简化为：
$$
E(|Z|) = 2 \int_{0}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
$$
令 $u = \frac{z^2}{2}$，则 $du = z dz$，积分变为：
$$
E(|Z|) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} du = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \cdot 1 = \sqrt{\frac{2}{\pi}}
$$