题目

10.[填空题]设总体X的分布律为}x&-1&0&1&2p&theta&(theta)/(2)&(theta)/(2)&1-2theta, 0<theta<(1)/(2).现从该总体中抽取样本容量为16的简单随机样本如下:}取值&-1&0&1&2频数&3&2&5&6则theta的最大似然估计值为____.(请用最简分数作答)

10.[填空题] 设总体X的分布律为 $\begin{cases}x&-1&0&1&2\\p&\theta&\frac{\theta}{2}&\frac{\theta}{2}&1-2\theta\end{cases}$, $ 0<\theta<\frac{1}{2}$.现从该总体中抽取样本容量为16的简单随机样本如下: $\begin{cases}取值&-1&0&1&2\\频数&3&2&5&6\end{cases}$ 则$\theta$的最大似然估计值为____.(请用最简分数作答)

题目解答

答案

为了找到$\theta$的最大似然估计值，我们首先需要写出似然函数。似然函数是观察到的样本概率的乘积。给定样本，我们有以下频数： - 值$-1$出现3次， - 值$0$出现2次， - 值$1$出现5次， - 值$2$出现6次。 总体$X$的分布律为： \[ \begin{cases} x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ p & \theta & \frac{\theta}{2} & \frac{\theta}{2} & 1-2\theta \end{cases} \] 似然函数$L(\theta)$是观察到的样本概率的乘积： \[ L(\theta) = (\theta)^3 \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)^5 (1-2\theta)^6 \] 简化指数，我们得到： \[ L(\theta) = \theta^3 \cdot \theta^2 \cdot \theta^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot (1-2\theta)^6 = \theta^{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot (1-2\theta)^6 \] 由于$\left(\frac{1}{2}\right)^7$是一个常数，我们可以忽略它，以找到最大似然估计值。因此，我们最大化： \[ L'(\theta) = \theta^{10} (1-2\theta)^6 \] 为了找到最大值，我们对$L'(\theta)$取自然对数： \[ \ln L'(\theta) = 10 \ln \theta + 6 \ln (1-2\theta) \] 接下来，我们对$\theta$求导： \[ \frac{d}{d\theta} \ln L'(\theta) = \frac{10}{\theta} + \frac{6 \cdot (-2)}{1-2\theta} = \frac{10}{\theta} - \frac{12}{1-2\theta} \] 将导数设为零，以找到临界点： \[ \frac{10}{\theta} - \frac{12}{1-2\theta} = 0 \] 解$\theta$： \[ \frac{10}{\theta} = \frac{12}{1-2\theta} \implies 10(1-2\theta) = 12\theta \implies 10 - 20\theta = 12\theta \implies 10 = 32\theta \implies \theta = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \] 我们需要检查这个值是否在区间$0 < \theta < \frac{1}{2}$内。由于$\frac{5}{16} = 0.3125$，它在区间内。因此，$\theta$的最大似然估计值为： \[ \boxed{\frac{5}{16}} \]

解析

考查要点：本题主要考查最大似然估计的应用，需要根据给定的分布律和样本数据，推导出参数θ的最大似然估计值。

解题核心思路：

  1. 构造似然函数：根据样本中各取值的频数，将每个取值的概率相乘，得到似然函数。
  2. 简化似然函数：合并同类项，忽略常数因子，转化为仅关于θ的表达式。
  3. 取对数并求导：通过对数转换简化求导过程，找到导数为零的临界点。
  4. 验证解的有效性：确保解在参数θ的定义域内（0 < θ < 1/2）。

破题关键点：

  • 正确写出似然函数，注意各取值的频数对应的指数。
  • 合并θ的指数项，简化表达式。
  • 正确求导并解方程，注意分母的处理和代数变形。

1. 构造似然函数

样本中各取值的频数分别为：-1出现3次，0出现2次，1出现5次，2出现6次。根据分布律，似然函数为：
$L(\theta) = \theta^3 \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)^5 (1-2\theta)^6$

2. 简化似然函数

合并θ的指数项和常数项：
$L(\theta) = \theta^{3+2+5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2+5} \cdot (1-2\theta)^6 = \theta^{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot (1-2\theta)^6$
忽略常数项$\left(\frac{1}{2}\right)^7$，仅需最大化：
$L'(\theta) = \theta^{10} (1-2\theta)^6$

3. 取对数并求导

对$L'(\theta)$取自然对数：
$\ln L'(\theta) = 10 \ln \theta + 6 \ln (1-2\theta)$
求导并令导数为零：
$\frac{d}{d\theta} \ln L'(\theta) = \frac{10}{\theta} - \frac{12}{1-2\theta} = 0$

4. 解方程求θ

解方程：
$\frac{10}{\theta} = \frac{12}{1-2\theta} \implies 10(1-2\theta) = 12\theta \implies 10 = 32\theta \implies \theta = \frac{5}{16}$

5. 验证解的有效性

$\frac{5}{16} \approx 0.3125$，满足$0 < \theta < \frac{1}{2}$，因此解有效。