题目

1.设X~N(0,1)，X_(1)，X_(2)，X_(3)，X_(4)，X_(5)为其样本，求(2X_(5))/(sqrt(sum_(i=1)^4)X_{i^2)}的分布.

1.设X~N(0,1)，$X_{1}$，$X_{2}$，$X_{3}$，$X_{4}$，$X_{5}$为其样本，求$\frac{2X_{5}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_{i}^{2}}}$的分布.

题目解答

答案

为了确定随机变量$\frac{2X_{5}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_{i}^{2}}}$的分布，我们需要分析分子和分母的分布，然后使用统计学中已知的分布结果。 1. **确定$X_5$的分布：** 由于$X_5$是来自正态分布$N(0,1)$的样本，我们有$X_5 \sim N(0,1)$。 2. **确定$\sum_{i=1}^{4}X_i^2$的分布：** 每个$X_i$（对于$i=1,2,3,4$）是来自正态分布$N(0,1)$的样本。正态分布$N(0,1)$的平方遵循自由度为1的卡方分布，即$X_i^2 \sim \chi^2(1)$。因此，四个这样的平方和遵循自由度为4的卡方分布： \[ \sum_{i=1}^{4}X_i^2 \sim \chi^2(4). \] 3. **结合分布：** 我们需要找到$\frac{2X_5}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}}$的分布。设$Y = \frac{2X_5}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}}$。这可以重写为： \[ Y = \frac{2X_5}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}} = \frac{X_5}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{4}}}. \] 分母$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{4}}$是4个自由度为1的卡方随机变量的平均值的平方根，即自由度为4的卡方随机变量除以4的平方根。这等价于自由度为4的卡方分布的平方根除以2。 $t$-分布定义为正态随机变量与自由度为$n$的卡方随机变量除以$n$的平方根的比值。在我们的情况下，分子$X_5$是标准正态随机变量，分母$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{4}}$是自由度为4的卡方随机变量除以4的平方根。因此，$Y$遵循自由度为4的$t$-分布： \[ Y \sim t(4). \] 因此，$\frac{2X_{5}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_{i}^{2}}}$的分布是$\boxed{t(4)}$。

解析

考查要点：本题主要考查t分布的识别与构造，需要结合标准正态分布和卡方分布的性质，理解t分布的定义及其构成条件。

解题核心思路：

  1. 分子分析：确认分子部分是否为标准正态变量。
  2. 分母分析：确认分母是否为卡方分布的平方根形式，并计算自由度。
  3. 独立性验证：确保分子与分母对应的随机变量相互独立。
  4. t分布构造：将分子和分母组合成t分布的标准形式，确定自由度。

破题关键点：

  • 识别卡方分布：$\sum_{i=1}^{4}X_i^2$ 是4个独立标准正态变量的平方和，服从$\chi^2(4)$。
  • 标准化处理：将分母转化为卡方分布除以自由度的平方根形式，匹配t分布的定义。

步骤1：分析分子部分

$X_5$ 是来自标准正态分布$N(0,1)$的样本，因此：
$X_5 \sim N(0,1)$

步骤2：分析分母部分

$\sum_{i=1}^{4}X_i^2$ 是4个独立标准正态变量的平方和，每个$X_i^2 \sim \chi^2(1)$，因此：
$\sum_{i=1}^{4}X_i^2 \sim \chi^2(4)$

步骤3：构造t分布形式

将原式变形为：
$\frac{2X_5}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}} = \frac{X_5}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{4}}}$
其中：

  • 分子$X_5$ 是标准正态变量。
  • 分母$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{4}}$ 是自由度为4的卡方分布的平方根除以自由度。

根据t分布的定义，标准正态变量与卡方分布标准化后的比值服从t分布，因此：
$\frac{X_5}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{4}}} \sim t(4)$

步骤4：验证独立性

$X_5$ 与 $\sum_{i=1}^{4}X_i^2$ 独立（样本相互独立），满足t分布的条件。