某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，密度函数为f(x)=}(1)/(600)e^-(x)/(600),&x>00,&xleq0试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率=（）A. (1)/(e)-1B. -(1)/(e)C. (1)/(e)D. 1-(1)/(e)

本题考查指数分布的概率计算以及独立事件概率的综合应用。解题的关键思路是先求出一只电子元件在最初$200$小时内不损坏的概率，再根据独立事件的性质求出三只电子元件都不损坏的概率，最后利用对立事件的概率关系求出至少有一只电子元件损坏的概率。

步骤一：求一只电子元件在最初$200$小时内不损坏的概率

设一只电子元件的寿命为$X$，已知$X$服从指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{600}e^{-\frac{x}{600}},&x\gt{}0\\0,&x\leq0\end{cases}$。
根据连续型随机变量在某区间上的概率等于其概率密度函数在该区间上的定积分，可得一只电子元件在最初$200$小时内不损坏的概率为：
$P(X\gt200)=\int_{200}^{+\infty}f(x)dx=\int_{200}^{+\infty}\frac{1}{600}e^{-\frac{x}{600}}dx$
令$t = -\frac{x}{600}$，则$dt = -\frac{1}{600}dx$，当$x = 200$时，$t = -\frac{200}{600}=-\frac{1}{3}$；当$x\to +\infty$时，$t\to -\infty$。
那么$\int_{200}^{+\infty}\frac{1}{600}e^{-\frac{x}{600}}dx=-\int_{-\frac{1}{3}}^{-\infty}e^{t}dt=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{3}}e^{t}dt$
根据指数函数的积分公式$\int e^{t}dt = e^{t} + C$，可得：
$\int_{-\infty}^{-\frac{1}{3}}e^{t}dt = e^{t}\big|_{-\infty}^{-\frac{1}{3}} = e^{-\frac{1}{3}} - e^{-\infty}=e^{-\frac{1}{3}}$

步骤二：求三只电子元件都不损坏的概率

因为三只电子元件独立工作，所以三只电子元件都不损坏的概率等于一只电子元件不损坏的概率的三次方，即：
$P(\text{三只都不损坏})=(e^{-\frac{1}{3}})^3 = e^{-1}$

步骤三：求至少有一只电子元件损坏的概率

“至少有一只电子元件损坏”的对立事件是“三只电子元件都不损坏”，根据对立事件的概率关系$P(A)=1 - P(\overline{A})$（其中$A$表示事件，$\overline{A}$表示$A$的对立事件），可得至少有一只电子元件损坏的概率为：
$P(\text{至少有一只损坏}) = 1 - P(\text{三只都不损坏}) = 1 - e^{-1}=1 - \frac{1}{e}$