16.填空题(4分)函数z=x^3cos2y的全微分为((___输入答案___) ).

为了求函数 $ z = x^3 \cos 2y $ 的全微分，我们需要使用全微分的公式。对于一个二元函数 $ z = f(x, y) $，它的全微分 $ dz $ 可以表示为： \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] 其中， $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 分别是 $ z $ 对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。 首先，我们计算 $ \frac{\partial z}{\partial x} $。将 $ y $ 看作常数，对 $ x $ 求导，得到： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 \cos 2y) = 3x^2 \cos 2y \] 接下来，我们计算 $ \frac{\partial z}{\partial y} $。将 $ x $ 看作常数，对 $ y $ 求导，得到： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 \cos 2y) = x^3 \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\cos 2y) = x^3 \cdot (-\sin 2y) \cdot 2 = -2x^3 \sin 2y \] 现在，我们将这些偏导数代入全微分的公式中，得到： \[ dz = 3x^2 \cos 2y \, dx + (-2x^3 \sin 2y) \, dy = 3x^2 \cos 2y \, dx - 2x^3 \sin 2y \, dy \] 因此，函数 $ z = x^3 \cos 2y $ 的全微分为： \[ \boxed{3x^2 \cos 2y \, dx - 2x^3 \sin 2y \, dy} \]