题目

13.(本题满分10分)设 _(1)=2, _(n+1)=dfrac ({{x)_(n)}^2}(1+{x)_(n)} , n=1,2,.-|||-(1)证明数列(xn)收敛,并求 lim _(narrow infty )(x)_(n);-|||-in my m-|||-(2)求 lim _(narrow infty )(dfrac ({x)_(2)}({x)_(1)}+dfrac ({x)_(3)}({x)_(2)}+... +dfrac ({x)_(n+1)}({x)_(n)}).

题目解答

答案

解析

本题主要考查数列收敛性的证明、极限的求解以及数列求和极限的计算。解题思路如下：

  1. 证明数列$\{x_n\}$收敛并求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$：
    • 首先，根据已知条件$x_{n + 1} = \frac{x_n^2}{1 + x_n}$和$x_1 = 2\gt0$，通过数学归纳法证明$x_n\gt0$。
      • 当$n = 1$时，$x_1 = 2\gt0$，假设当$n = k$时，$x_k\gt0$，那么当$n = k + 1$时，$x_{k + 1} = \frac{x_k^2}{1 + x_k}$，因为分子$x_k^2\gt0$，分母$1 + x_k\gt0$，所以$x_{k + 1}\gt0$，由数学归纳法可知$x_n\gt0$对$n = 1,2,\cdots$都成立。
    • 然后，计算$x_{n + 1}-x_n$判断数列的单调性：
      • $x_{n + 1}-x_n=\frac{x_n^2}{1 + x_n}-x_n=\frac{x_n^2 - x_n - x_n^2}{1 + x_n}=-\frac{x_n}{1 + x_n}$。
      • 因为$x_n\gt0$，所以$-\frac{x_n}{1 + x_n}\lt0$，即$x_{n + 1}\lt x_n$，所以数列$\{x_n\}$单调递减。
    • 接着，确定数列的下界：
      • 由于$x_n\gt0$，所以数列$\{x_n\}$有下界。
    • 最后，根据单调有界准则可知数列$\{x_n\}$收敛。设$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = a$，对$x_{n + 1} = \frac{x_n^2}{1 + x_n}$两边同时取$n\rightarrow\infty$的极限：
      • $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n + 1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n^2}{1 + x_n}$，即$a = \frac{a^2}{1 + a}$。
      • 等式两边同乘$1 + a$得到$a(1 + a)=a^2$，展开得$a + a^2 = a^2$，移项可得$a = 0$，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = 0$。
  2. 求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n + 1}}{x_n})$：
    • 由$x_{n + 1} = \frac{x_n^2}{1 + x_n}$可得$\frac{x_{n + 1}}{x_n}=\frac{x_n}{1 + x_n}=1-\frac{1}{1 + x_n}$。
    • 则$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n + 1}}{x_n}=(1-\frac{1}{1 + x_1})+(1-\frac{1}{1 + x_2})+\cdots+(1-\frac{1}{1 + x_n})$。
    • 上式可化简为$n-(\frac{1}{1 + x_1}+\frac{1}{1 + x_2}+\cdots+\frac{1}{1 + x_n})$。
    • 因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = 0$，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1 + x_n}=1$。
    • 而$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{1 + x_n}$是无穷多项和，且每一项极限为$1$，其和为无穷大。
    • 所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n + 1}}{x_n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[n-(\frac{1}{1 + x_1}+\frac{1}{1 + x_2}+\cdots+\frac{1}{1 + x_n})]=+\infty$。