题目
【题目】计算器在进行加法时,将每个加数舍人最靠近它的整数,设所有舍人误差是独立的且在(一0.5,0.5)上服从均匀分布(1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?
【题目】计算器在进行加法时,将每个加数舍人最靠近它的整数,设所有舍人误差是独立的且在(一0.5,0.5)上服从均匀分布(1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?
题目解答
答案
【解析】【解】(1)设X表示第i个数产生的舍入误差,i-1,2,…,1500,则X_i∼U[-1/2,1/2V 误差总和E ∑_(n=1)^(100)X_i=∑_(i=1)^(100)E(X_i)=0 ,D ∑_(i=1)^(1500J)X_i=∑_(i=1)^(100j)D(X_i)=(1500)/(12)=125X,|15)=1-P(| ∑_(i=1)^(1000)x_i1≤15=1-P(-15≤∑_(i=1)^2)X_i≤15)=1-P((-15)/(√(125))≤(∑_i^2x_i)/(√(125))≤(15)/(√(125))≈1-Φ((15)/(√(125))+Φ( =2[1-Φ 2[1-Φ((15)/(√(125)))]=2[1-Φ(1.34)]=2[1-0.9099]=0.180222 P(|∑_(1=1)^n(x_1)|10|≥0.90, 然E∑_(i=1)^nX_i=∑_(i=1)^nE(X_i)=0,D(∑_(i=1)^nX_i)=n/(12) ∑_(n=1)^∞x_n10^n=P(=10≤∑_(r1)^rx_r101-P_a=P_(n/(√(m/^2))(√(20)-1≥0.90,(Φ((20√3)/(√n))≥0.95,(20√3)/(√n)1.65 0.951.65解得 √n20,99 , n440. 58.最多440个数相加使误差总和绝对值小于10的概率不小于0.90.
解析
【解析】
步骤 1：定义误差变量
设X_i表示第i个数产生的舍入误差，i=1,2,…,1500,则X_i∼U[-1/2,1/2]。
步骤 2：计算误差总和的期望和方差
误差总和E ∑_(i=1)^(1500)X_i=∑_(i=1)^(1500)E(X_i)=0 ,D ∑_(i=1)^(1500)X_i=∑_(i=1)^(1500)D(X_i)=(1500)/(12)=125。
步骤 3：计算误差总和的绝对值超过15的概率
P(| ∑_(i=1)^(1500)X_i|>15)=1-P(| ∑_(i=1)^(1500)X_i|≤15)=1-P(-15≤∑_(i=1)^(1500)X_i≤15)=1-P((-15)/(√(125))≤(∑_(i=1)^(1500)X_i)/(√(125))≤(15)/(√(125)))≈1-Φ((15)/(√(125)))+Φ((-15)/(√(125)))=2[1-Φ((15)/(√(125)))]=2[1-Φ(1.34)]=2[1-0.9099]=0.1802。
步骤 4：计算最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
P(|∑_(i=1)^nX_i|<10)≥0.90, 然E∑_(i=1)^nX_i=∑_(i=1)^nE(X_i)=0,D(∑_(i=1)^nX_i)=n/(12) ∑_(i=1)^nX_i<10=P(-10≤∑_(i=1)^nX_i<10)=1-P(|∑_(i=1)^nX_i|≥10)≥0.90, (Φ((10√3)/(√n))≥0.95, (10√3)/(√n)≥1.65, 解得 √n≤(10√3)/(1.65), n≤((10√3)/(1.65))^2≈58.58, 最多58个数相加使误差总和绝对值小于10的概率不小于0.90。
步骤 1：定义误差变量
设X_i表示第i个数产生的舍入误差，i=1,2,…,1500,则X_i∼U[-1/2,1/2]。
步骤 2：计算误差总和的期望和方差
误差总和E ∑_(i=1)^(1500)X_i=∑_(i=1)^(1500)E(X_i)=0 ,D ∑_(i=1)^(1500)X_i=∑_(i=1)^(1500)D(X_i)=(1500)/(12)=125。
步骤 3：计算误差总和的绝对值超过15的概率
P(| ∑_(i=1)^(1500)X_i|>15)=1-P(| ∑_(i=1)^(1500)X_i|≤15)=1-P(-15≤∑_(i=1)^(1500)X_i≤15)=1-P((-15)/(√(125))≤(∑_(i=1)^(1500)X_i)/(√(125))≤(15)/(√(125)))≈1-Φ((15)/(√(125)))+Φ((-15)/(√(125)))=2[1-Φ((15)/(√(125)))]=2[1-Φ(1.34)]=2[1-0.9099]=0.1802。
步骤 4：计算最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
P(|∑_(i=1)^nX_i|<10)≥0.90, 然E∑_(i=1)^nX_i=∑_(i=1)^nE(X_i)=0,D(∑_(i=1)^nX_i)=n/(12) ∑_(i=1)^nX_i<10=P(-10≤∑_(i=1)^nX_i<10)=1-P(|∑_(i=1)^nX_i|≥10)≥0.90, (Φ((10√3)/(√n))≥0.95, (10√3)/(√n)≥1.65, 解得 √n≤(10√3)/(1.65), n≤((10√3)/(1.65))^2≈58.58, 最多58个数相加使误差总和绝对值小于10的概率不小于0.90。