题目
38、判断 若A_(1),A_(2),...,A_(n)满足A_(i)A_(j)=phi(ineq j,i,j=1,2,dots,n)，且A_(1)cup A_(2)cup ...cup A_(n)=Omega，BsubsetOmega，则必有P(A_(j)|B)=(P(A_(j))P(B|A_(j)))/(sum_(i=1)^nP(A_{i))P(B|A_(i))}.(1分)A. ×B. √
38、判断 若$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$满足$A_{i}A_{j}=\phi(i\neq j,i,j=1,2,\dots,n)$，且$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots\cup A_{n}=\Omega$，$B\subset\Omega$，则必有$P(A_{j}|B)=\frac{P(A_{j})P(B|A_{j})}{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}$.
(1分)
A. ×
B. √
题目解答
答案
B. √
解析
考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用条件及公式形式，重点在于理解事件划分与条件概率的关系。
解题核心思路：
题目中给出的事件$A_1, A_2, \dots, A_n$构成互斥且完备的事件组（即$\bigcup A_i = \Omega$且$A_i \cap A_j = \emptyset$当$i \neq j$），此时可直接应用贝叶斯定理。关键在于将分母视为全概率公式计算的$P(B)$，分子对应$P(A_j \cap B)$，从而推导出题目中的表达式。
破题关键点：
- 确认事件组的划分性质：互斥且覆盖样本空间，确保全概率公式适用。
- 贝叶斯定理的直接应用：公式形式需与题目中的分式结构对应。
步骤1：应用全概率公式计算$P(B)$
由于$A_1, A_2, \dots, A_n$构成完备事件组，根据全概率公式：
$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B \mid A_i)$
步骤2：应用贝叶斯定理计算$P(A_j \mid B)$
贝叶斯定理的公式为：
$P(A_j \mid B) = \frac{P(A_j \cap B)}{P(B)}$
其中，$P(A_j \cap B) = P(A_j) P(B \mid A_j)$，代入得：
$P(A_j \mid B) = \frac{P(A_j) P(B \mid A_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B \mid A_i)}$
结论：题目中的等式与贝叶斯定理完全一致，因此命题成立。