题目
3.若标准正态分布的函数Φ(x)，当x=a和x=-a时相等，且Φ(0.5)=0.6915，则Φ(a)的值是 (A.).0.6915; (B.).0.5; (C.).0; (D.).0.3930.
3.若标准正态分布的函数Φ(x)，当x=a和x=-a时相等，且Φ(0.5)=0.6915，则Φ(a)的值是 (
A.).0.6915; (
B.).0.5; (
C.).0; (
D.).0.3930.
A.).0.6915; (
B.).0.5; (
C.).0; (
D.).0.3930.
题目解答
答案
根据标准正态分布的对称性，有 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。由题意知 $\Phi(a) = \Phi(-a)$，代入对称性公式得：
\[
\Phi(a) = 1 - \Phi(a) \implies 2\Phi(a) = 1 \implies \Phi(a) = 0.5
\]
已知 $\Phi(0.5) = 0.6915$，但 $\Phi(0.5) \neq \Phi(-0.5)$，故 $a \neq 0.5$。唯一满足 $\Phi(a) = 0.5$ 的值为 $a = 0$，此时 $\Phi(0) = 0.5$。
因此，正确答案为 $\boxed{B}$。
解析
标准正态分布的对称性是本题的核心考查点。题目中给出Φ(a) = Φ(-a)，结合标准正态分布的性质Φ(-x) = 1 - Φ(x)，可推导出Φ(a)的具体值。关键在于利用对称性建立方程，排除干扰信息Φ(0.5)=0.6915的影响，最终确定唯一符合条件的解。
根据对称性列方程
标准正态分布的对称性表明：
$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
题目中给出Φ(a) = Φ(-a)，代入对称性公式得：
$\Phi(a) = 1 - \Phi(a)$
解方程求Φ(a)
将方程变形：
$2\Phi(a) = 1 \implies \Phi(a) = 0.5$
验证唯一解
当Φ(a) = 0.5时，唯一满足条件的a值为0（因为Φ(0) = 0.5）。题目中Φ(0.5)=0.6915是干扰信息，说明a ≠ 0.5，因此正确答案为B选项。