题目
例1设总体X的概率密度为-|||-(x;lambda )= ) lambda (e)^-lambda x,xgt 0, 0,xleqslant 0 .-|||-其中 lambda gt 0 ,x1,X2,···,Xn为取自X的样本,求待估参数λ的矩估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体的一阶矩
根据给定的概率密度函数 $f(x;\lambda )=$ $\left \{ \begin{matrix} \lambda {e}^{-\lambda x},x\gt 0,\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$，计算总体的一阶矩，即期望值 $E(X)$。
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x;\lambda) dx = \int_{0}^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx$$
步骤 2：计算积分
利用分部积分法计算上述积分。
$$E(X) = \int_{0}^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x} dx$$
$$E(X) = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty} + \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}$$
$$E(X) = 0 + \frac{1}{\lambda}$$
步骤 3：建立矩估计方程
根据矩估计法，总体的一阶矩等于样本的一阶矩，即 $E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$。
步骤 4：求解矩估计量
解上述方程，得到待估参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}$。
$$\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}$$
根据给定的概率密度函数 $f(x;\lambda )=$ $\left \{ \begin{matrix} \lambda {e}^{-\lambda x},x\gt 0,\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$，计算总体的一阶矩，即期望值 $E(X)$。
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x;\lambda) dx = \int_{0}^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx$$
步骤 2：计算积分
利用分部积分法计算上述积分。
$$E(X) = \int_{0}^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x} dx$$
$$E(X) = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty} + \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}$$
$$E(X) = 0 + \frac{1}{\lambda}$$
步骤 3：建立矩估计方程
根据矩估计法，总体的一阶矩等于样本的一阶矩，即 $E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$。
步骤 4：求解矩估计量
解上述方程，得到待估参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}$。
$$\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}$$