设y=f(x)为微分方程y'-xy=g(x)满足 y(0)=1 的解，其中 g(x)= int_(0)^x sin (x-t)^2dt, 则()A. 在点 x=0 处，f(x) 取得极大值B. 在点 x=0 处，f(x) 取得极小值C. 点 (0,f(0)) 为曲线 y=f(x) 的拐点D. 点 x=0 不是 f(x) 的极值点，(0,f(0))也不是曲线 y=f(x) 的拐点

考查要点：本题主要考查微分方程解的性质、极值与拐点的判定方法，以及积分变换的应用。

解题核心思路：

1. 转化积分表达式：通过变量替换将$g(x)$转化为标准形式，便于求导。
2. 求导分析极值：利用微分方程求出$f(x)$在$x=0$处的导数，结合极值的第二充分条件判断极值类型。
3. 拐点判定：通过二阶导数的连续性和变号情况判断拐点是否存在。

破题关键点：

• 变量替换：将积分$\int_{0}^{x} \sin((x-t)^2)dt$转化为$\int_{0}^{x} \sin(u^2)du$，简化求导过程。
• 导数计算：通过微分方程求$f'(0)$和$f''(0)$，结合极值判定条件。
• 二阶导数符号分析：判断$f''(x)$在$x=0$附近是否变号，确定拐点是否存在。

步骤1：转化积分表达式

令$u = x - t$，则当$t=0$时$u=x$，当$t=x$时$u=0$，积分上下限交换后添加负号：
$g(x) = \int_{0}^{x} \sin((x-t)^2)dt = \int_{x}^{0} \sin(u^2)(-du) = \int_{0}^{x} \sin(u^2)du.$

步骤2：求$g(x)$的导数

• 一阶导数：由微积分基本定理，$g'(x) = \sin(x^2)$。
• 二阶导数：对$g'(x)$求导，$g''(x) = 2x\cos(x^2)$。

步骤3：分析微分方程

微分方程为$f'(x) = x f(x) + g(x)$，代入$x=0$：
$f'(0) = 0 \cdot f(0) + g(0) = 0.$

步骤4：求二阶导数$f''(0)$

对$f'(x)$求导：
$f''(x) = f(x) + x f'(x) + g'(x).$
代入$x=0$：
$f''(0) = f(0) + 0 \cdot f'(0) + g'(0) = 1 + 0 + 0 = 1 > 0.$

步骤5：极值与拐点判定

• 极值：$f'(0)=0$且$f''(0)=1>0$，由第二充分条件，$x=0$是极小值点。
• 拐点：$f''(0)=1 \neq 0$，且$f''(x)$在$x=0$附近保持正值（因$f''(x) \approx 1 + \sin(x^2) \geq 0$），故无拐点。