题目
5.11 设(X1,X2,···Xn, _(n)+1) 是正态总体N(μ,σ^2)的样本, overline (X)=-|||-dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), -^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 ,试求统计量 dfrac ({X)_(n+1)-overline (X)}(S)sqrt (dfrac {n)(n+1)} 的抽-|||-样分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定统计量的分布
统计量 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 可以分解为两个部分：$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 和 $\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$。其中，$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 是一个关于样本均值和样本标准差的函数，而 $\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 是一个常数因子。
步骤 2：分析 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$
由于 ${X}_{n+1}$ 是独立于样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的，且样本均值 $\overline{X}$ 和样本标准差 $S$ 是基于样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的，因此 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 可以看作是两个独立的正态分布变量的线性组合。根据中心极限定理，$\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$，而 $S$ 是样本标准差，服从 $\chi^2$ 分布。因此，$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 服从 t 分布。
步骤 3：确定 t 分布的自由度
由于 $S$ 是基于 $n$ 个样本的，因此其自由度为 $n-1$。因此，$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 服从 t 分布，自由度为 $n-1$。乘以常数因子 $\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 不改变其分布类型，因此统计量 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 也服从 t 分布，自由度为 $n-1$。
统计量 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 可以分解为两个部分：$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 和 $\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$。其中，$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 是一个关于样本均值和样本标准差的函数，而 $\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 是一个常数因子。
步骤 2：分析 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$
由于 ${X}_{n+1}$ 是独立于样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的，且样本均值 $\overline{X}$ 和样本标准差 $S$ 是基于样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的，因此 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 可以看作是两个独立的正态分布变量的线性组合。根据中心极限定理，$\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$，而 $S$ 是样本标准差，服从 $\chi^2$ 分布。因此，$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 服从 t 分布。
步骤 3：确定 t 分布的自由度
由于 $S$ 是基于 $n$ 个样本的，因此其自由度为 $n-1$。因此，$\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}$ 服从 t 分布，自由度为 $n-1$。乘以常数因子 $\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 不改变其分布类型，因此统计量 $\dfrac{{X}_{n+1}-\overline{X}}{S}\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$ 也服从 t 分布，自由度为 $n-1$。