设 xi sim N(0,1)，eta = xi^2 则随机变量 xi 与 eta 的关系是A. 不相关也不独立B. 有平方关系,协方差非零C. 独立且不相关D. 平方关系,相关系数大于0

本题考查正态分布随机变量的相关性与独立性的判断，核心是通过协方差（或相关系数）判断是否相关，通过分布函数判断是否独立。

步骤1：判断是否相关（通过协方差计算）

随机变量$\xi\sim N(0,11)$，$\eta=\xi^2$。
协方差$Cov($\xi,\eta$)=E($\xi\eta$)-E$\xi$E$\eta$。

• 因$\xi\sim N(0,1)$，故E$\xi=0$，则Cov($\xi,\eta$)=E($\xi^3$)-0=E(\xi^3)$。
• 正态分布$N(0,1)$的奇数阶矩均为0（对称性），奇函数积分对称抵消），故E($\xi^3$)=0，因此Cov($\xi,\eta$)=0，$\xi$与$\eta$不相关。

步骤2：判断是否独立

若$\xi$与$\eta$独立，则对任意$a,b$，$P(\xi\leq a,\eta\leq b)=P(\xi\leq a)P(\eta\leq b)$。
取- 取$a=0,b=0$：

• $P(\xi\leq0,\eta\leq0)$：$\eta=\xi^2\geq0$，故$\eta\leq0$仅当$\xi=0$，则$P(\xi\leq0,\eta\leq0)=P(\xi=0=0$（连续型随机变量单点概率为0）。
• $P(\xi\leq0)P(\eta\leq0)=P(\xi\leq0)=\frac{1}{2}$，$P(\eta\leq0)=P(\xi^2\leq0)=P(\xixi=0)=0$，故$P(\xi\leq0)P(\eta\leq0)=\frac{1}{2}\times0=0$，看似相等？
  \ 取$a=0,b=1$：
• $P(\xi\leq0,\eta\leq1)=P(\xi\leq0,\xi^2\leq1)=P(-1\leq\xi\leq0)=\Phi(0)-\Phi(-1)=\frac{1}{2}- \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。
• $P(\xi\leq0)P(\eta\leq1)=P(\xi\leq0\times P(\xi^2\leq1)=\frac{1}{2}\times P(-1\leq\xi\leq1)=\frac{1}{2}\times(\Phi(1)-\Phi(-1))=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
  显然$\frac{1}{4}\neq\frac{1}{4}$，故$\xi$与$\eta$不独立立立。

结论

$\xi$与$\eta$不相关但不独立，选A。