题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)是总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)的简单随机样本，则当_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)___________时，统计量_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5).
设
是总体
的简单随机样本，则当
___________时，统计量
.
题目解答
答案
来自总体X的样本相互独立且都服从总体的分布，则
，则
，
，则
，
，
，则
，则
，则
，化简可得
，则
.
解析
步骤 1：确定$X_1 + X_2$的分布
由于$X_1$和$X_2$都是来自总体$X\sim N(0,2^2)$的简单随机样本，因此$X_1$和$X_2$相互独立且都服从$N(0,4)$的分布。所以$X_1 + X_2$的均值为$E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 0 + 0 = 0$，方差为$D(X_1 + X_2) = D(X_1) + D(X_2) = 4 + 4 = 8$。因此，$X_1 + X_2 \sim N(0,8)$。
步骤 2：确定$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$的分布
由于$X_3$，$X_4$，$X_5$都是来自总体$X\sim N(0,2^2)$的简单随机样本，因此$X_3$，$X_4$，$X_5$相互独立且都服从$N(0,4)$的分布。所以$\frac{X_3}{2}$，$\frac{X_4}{2}$，$\frac{X_5}{2}$都服从$N(0,1)$的分布。因此，$\left(\frac{X_3}{2}\right)^2$，$\left(\frac{X_4}{2}\right)^2$，$\left(\frac{X_5}{2}\right)^2$都服从$\chi^2(1)$的分布。所以$\left(\frac{X_3}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_5}{2}\right)^2 \sim \chi^2(3)$。因此，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2} = 2\sqrt{\left(\frac{X_3}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_5}{2}\right)^2} \sim 2\sqrt{\chi^2(3)}$。
步骤 3：确定$Y$的分布
根据$t$分布的定义，如果$Z \sim N(0,1)$，$W \sim \chi^2(n)$，且$Z$和$W$相互独立，则$\frac{Z}{\sqrt{W/n}} \sim t(n)$。因此，要使$Y = \frac{k(X_1 + X_2)}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}} \sim t(3)$，则需要$X_1 + X_2$和$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$相互独立，且$X_1 + X_2$的分布为$N(0,8)$，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$的分布为$2\sqrt{\chi^2(3)}$。因此，$Y = \frac{k(X_1 + X_2)}{2\sqrt{\chi^2(3)}} \sim t(3)$。所以，$k = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$。
由于$X_1$和$X_2$都是来自总体$X\sim N(0,2^2)$的简单随机样本，因此$X_1$和$X_2$相互独立且都服从$N(0,4)$的分布。所以$X_1 + X_2$的均值为$E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 0 + 0 = 0$，方差为$D(X_1 + X_2) = D(X_1) + D(X_2) = 4 + 4 = 8$。因此，$X_1 + X_2 \sim N(0,8)$。
步骤 2：确定$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$的分布
由于$X_3$，$X_4$，$X_5$都是来自总体$X\sim N(0,2^2)$的简单随机样本，因此$X_3$，$X_4$，$X_5$相互独立且都服从$N(0,4)$的分布。所以$\frac{X_3}{2}$，$\frac{X_4}{2}$，$\frac{X_5}{2}$都服从$N(0,1)$的分布。因此，$\left(\frac{X_3}{2}\right)^2$，$\left(\frac{X_4}{2}\right)^2$，$\left(\frac{X_5}{2}\right)^2$都服从$\chi^2(1)$的分布。所以$\left(\frac{X_3}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_5}{2}\right)^2 \sim \chi^2(3)$。因此，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2} = 2\sqrt{\left(\frac{X_3}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_5}{2}\right)^2} \sim 2\sqrt{\chi^2(3)}$。
步骤 3：确定$Y$的分布
根据$t$分布的定义，如果$Z \sim N(0,1)$，$W \sim \chi^2(n)$，且$Z$和$W$相互独立，则$\frac{Z}{\sqrt{W/n}} \sim t(n)$。因此，要使$Y = \frac{k(X_1 + X_2)}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}} \sim t(3)$，则需要$X_1 + X_2$和$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$相互独立，且$X_1 + X_2$的分布为$N(0,8)$，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$的分布为$2\sqrt{\chi^2(3)}$。因此，$Y = \frac{k(X_1 + X_2)}{2\sqrt{\chi^2(3)}} \sim t(3)$。所以，$k = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$。