4 设 sim N(2,4) 求 (Xleqslant 1)= __ (标准正态分布表 Phi (0.5)=0.6915-|||-(4.0分)

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将给定的正态分布变量转化为标准正态分布变量，利用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
2. 对称性应用：根据标准正态分布的对称性，将负数的分位数转化为正数分位数的概率计算。
3. 查表计算：结合题目提供的标准正态分布表值 $\Phi(0.5) = 0.6915$，通过补集思想求解目标概率。

破题关键点：

• 正确识别参数：正态分布 $N(2,4)$ 中，均值 $\mu = 2$，标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。
• 标准化后的分位数计算：将 $X=1$ 转化为标准正态分布的分位数 $Z = \frac{1-2}{2} = -0.5$。
• 对称性转换：利用 $\Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5)$，结合已知表值得到结果。

步骤1：标准化变换
已知 $X \sim N(2,4)$，即 $\mu = 2$，$\sigma = 2$。
构造标准正态变量 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 2}{2}$，则 $Z \sim N(0,1)$。

步骤2：转化概率表达式
目标概率 $P(X \leqslant 1)$ 可转化为：
$P(X \leqslant 1) = P\left( \frac{X - 2}{2} \leqslant \frac{1 - 2}{2} \right) = P(Z \leqslant -0.5)$

步骤3：利用对称性计算
根据标准正态分布的对称性：
$P(Z \leqslant -0.5) = 1 - P(Z \leqslant 0.5) = 1 - \Phi(0.5)$
代入已知 $\Phi(0.5) = 0.6915$，得：
$P(Z \leqslant -0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$