题目
4.设X_(1),X_(2),...,X_(n)为总体Xsim N(mu,sigma^2)的一个样本，则样本均值overline(X)=____，样本方差S^2=____，overline(X)sim____.
4.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，则样本均值$\overline{X}=$____，样本方差$S^{2}=$____，$\overline{X}\sim$____.
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，则：
1. **样本均值** $\overline{X}$ 为：
\[
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
2. **样本方差** $S^2$ 为：
\[
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2
\]
3. **样本均值的分布**：
由于总体服从正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其期望为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，即：
\[
\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \\
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2, \\
\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).
\end{array}
}
\]