4.设X_(1),X_(2),...,X_(n)为总体Xsim N(mu,sigma^2)的一个样本，则样本均值overline(X)=____，样本方差S^2=____，overline(X)sim____.

本题主要考查样本均值、样本方差的定义以及正态总体下样本均值的分布这几个知识点。解题思路如下：

1. 样本均值的计算：
   样本均值是样本数据的平均值，根据定义，对于样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，其样本均值$\overline{X}$的计算公式为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$。这里是将样本中的每个数据相加，再除以样本数量$n$，得到样本数据的平均水平。
2. 样本方差的计算：
   样本方差是用来衡量样本数据离散程度的统计量。其计算公式为$S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。其中$(X_{i}-\overline{X})$表示每个样本值$X_{i}$与样本均值$\overline{X}$的偏差，将这些偏差的平方和除以$n - 1$（而不是$n$，这是为了使样本方差是总体方差的无偏估计），就得到了样本方差。
3. 样本均值的分布：
   已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，即总体服从均值为$\mu$，方差为$\sigma^{2}$的正态分布。根据正态分布的性质，若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，那么它们的线性组合也服从正态分布。样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$是$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的线性组合。
   • 首先求$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})$：
     根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$为常数，$X,Y$为随机变量），可得$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$。
     因为$X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，所以$E(X_{i})=\mu$（$i = 1,2,\cdots,n$），则$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$。
   • 然后求$\overline{X}$的方差$D(\overline{X})$：
     根据方差的性质$D(aX)=a^{2}D(X)$（$a$为常数，$X$为随机变量）以及$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立时$D(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})=D(X_{1})+D(X_{2})+\cdots+D(X_{n})$，可得$D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$。
     因为$X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，所以$D(X_{i})=\sigma^{2}$（$i = 1,2,\cdots,n$），则$D(\overline{X})=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。
     所以$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。