题目

21.单选题(4分) 设矩阵A和B满足AB=O，则() A |A.B|=0 B B.A可能没意义 C. |A|=0或|B|=0 D. A=0或B=0

21.单选题(4分) 设矩阵A和B满足AB=O，则() A |
A.B|=0 B
B.A可能没意义
C. |A|=0或|B|=0
D. A=0或B=0

题目解答

答案

**答案：B** **解析：** A. **行列式为零** 由 $ AB = O $，若 $ AB $ 为方阵，则 $ |AB| = |O| = 0 $。但题目未明确 $ A $ 和 $ B $ 的维度，$ AB $ 不一定为方阵，故 $ |AB| $ 无意义或为零，无法确定。 B. **$ BA $ 可能无意义** $ BA $ 有意义需 $ B $ 的列数等于 $ A $ 的行数。若 $ A $ 为 $ m \times n $，$ B $ 为 $ n \times p $，则 $ AB $ 为 $ m \times p $。若 $ p \neq m $，$ BA $ 无意义。例如，$ A $ 为 $ 2 \times 3 $，$ B $ 为 $ 3 \times 4 $ 时，$ BA $ 无意义。故选项B正确。 C. **行列式为零** 仅当 $ A $ 和 $ B $ 均为方阵时，$ |A| = 0 $ 或 $ |B| = 0 $ 成立。题目未明确 $ A $ 和 $ B $ 为方阵，故无法确定。 D. **矩阵为零矩阵** 存在非零矩阵 $ A $ 和 $ B $，满足 $ AB = O $。例如，$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $，$ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $，故选项D错误。 **结论：** 正确选项为 $\boxed{B}$。

解析

本题主要考察矩阵乘法的性质及相关概念，需注意矩阵的维度（行数、列数）对运算的影响，以及行列式存在的前提条件（矩阵必须为方阵）。

选项A分析

行列式仅对方阵有定义。若$AB$不是方阵（如$A$为$m×n$、$B$为$n×p$且$m≠p$），则$|AB|$无意义，无法得出$|A||B|=0$。即使$AB$是方阵，也仅能推出$|AB|=0$，但$|A|$和$|B|$可能均不为零（如$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$|A|=|B|=0$，但若$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$，$|AB|=1≠0$，矛盾），故A错误。

选项B分析

矩阵乘法$BA$有意义的条件是$B$的列数等于$A$的行数。例如：$A$为$2×3$矩阵，$B$为$3×4$矩阵，则$AB$为$2×4$矩阵（有意义），但$B$的列数为4，$A$的行数为2，$4≠2$，故$BA$无意义。因此$BA$可能无意义，B正确。

选项C分析

行列式仅对方阵有定义，若$A$或$B$不是方阵，则$|A|$或$|B|$无意义，更无法推出“$|A|=0$或$|B|=0$”。即使$A$和$B$均为方阵，也存在反例：$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$，$AB=O$，但$|A|=|B|=0$，并非“或”的关系（此处虽满足，但原命题“仅当方阵时$|A|=0$或$|B|=0$”不成立，因题目未限定方阵），故C错误。

选项D分析

存在非零矩阵$A$和$B$满足$AB=O$，例如：$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O$，但$A≠O$且$B≠O$，故D错误。