题目

2.确定常数a，b的值，使函数f(x)=}(x+a)/(x^2)+1,&x<0b,&x=01+(2)/(x))^x,&x>0在x=0处连续.

2.确定常数a，b的值，使函数$f(x)=\begin{cases}\frac{x+a}{x^{2}+1},&x<0\\b,&x=0\$1+\frac{2}{x})^{x},&x>0\end{cases}$在x=0处连续.

题目解答

答案

当 $x \to 0^-$ 时，左极限为： \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{x+a}{x^2+1} = a \] 当 $x \to 0^+$ 时，利用指数函数性质，右极限为： \[ \lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2 \] 为使函数在 $x=0$ 处连续，需满足： \[ a = b = e^2 \] **答案：** \[ \boxed{a = e^2, b = e^2} \]

解析

本题主要考察函数在某点连续的定义及极限的计算，关键是利用函数在一点连续的充要条件：函数在该点的左极限、右极限以及函数值相等。

步骤1：明确函数连续的条件**

函数$f(x)$在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^-} f f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$
其中：

  • $f(0) = b$（函数在$x=0$处的定义值）；
  • $\lim_{x \to 0^-} f(x)$为$x$从左侧趋近于0时的极限（\x<0)时的表达式）；
  • $\lim_{x \to 0^+} f(x)$为$x$从右侧趋近于0时的极限（\x>0)时的表达式）。

步骤2：计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$

当$x<0$时，$f(x)=\frac{x+a}{x^2+1}$，此为有理函数，分母接直接代入$x=0$：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x+a}{x^2+1} = \frac{0+a}{0^2+1} = a$

步骤3：计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$

当$x>0$时，$f(x)=\left(1+\frac{2}{x}\right)^x$，利用重要极限$\lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^t = e$：
令$t=\frac{x}{2}$，则$\frac{2}{x}=\frac{1}{t}$，$x=2t$，当$x \to 0^+$时，$t \to +\infty$：
$\left(1+\frac{2}{x}\right)^x = \left(1+\frac{1}{t}\right)^{2t} = \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{2} \to e^2 \quad (t \to +\infty)$
故右极限为$e知识点:对函数在一点连续的理解及极限计算。$

步骤4：令极限值等于函数值

由连续条件：
$a = b = e^2$