设 x_1, x_2, ..., x_n 是来自泊松分布 P(lambda) 的一个样本，证明：(1) T = sum_(i=1)^n x_i 是 lambda 的充分统计量。(2) 依据条件分布 P(X=x mid T=t) 设计一个随机试验，使其产生的样本与原样本同分布。(3) 在 n=2 时，x_1 + 2x_2 是统计量，但不是 lambda 的充分统计量。

(1) 由因子分解定理，联合概率质量函数 $P(X_1 = x_1, \cdots, X_n = x_n) = \frac{\lambda^T e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^n x_i!}$ 可分解为 $g(T, \lambda) = \lambda^T e^{-n\lambda}$ 和 $h(x_1, \cdots, x_n) = \frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i!}$，其中 $T = \sum_{i=1}^n X_i$。因此，$T$ 是 $\lambda$ 的充分统计量。

(2) 给定 $T = t$，条件分布 $P(X_1 = x_1, \cdots, X_n = x_n \mid T = t)$ 为多项分布，参数为 $t$ 和 $\left(\frac{1}{n}, \cdots, \frac{1}{n}\right)$。可设计随机试验：从该多项分布中生成样本。

(3) 当 $n = 2$ 时，统计量 $Y = X_1 + 2X_2$ 无法通过因子分解定理表示为 $g(Y, \lambda) h(x_1, x_2)$，且条件分布 $P(X_1 = x_1, X_2 = x_2 \mid Y = y)$ 依赖于 $\lambda$，故 $Y$ 不是 $\lambda$ 的充分统计量。

答案：
(1) $T = \sum_{i=1}^n X_i$ 是 $\lambda$ 的充分统计量。
(2) 给定 $T = t$，从参数为 $t$ 和 $\left(\frac{1}{n}, \cdots, \frac{1}{n}\right)$ 的多项分布中生成样本。
(3) $X_1 + 2X_2$ 是统计量，但不是 $\lambda$ 的充分统计量。

$\boxed{ \begin{array}{ccc}\text{(1) } T = \sum_{i=1}^n X_i \\\text{(2) } \text{多项分布} \\\text{(3) } X_1 + 2X_2 \text{ 非充分统计量}\end{array} }$