题目

1.一质量为16kg、半径为0.5m的均质圆盘在外力矩的作用下,绕过盘心且垂直盘面-|||-的轴转动,转动的角度按 theta =2(t)^2 规律变化。求在第2 s内,外力矩(1)对盘的冲量矩;(2)对-|||-盘所做的功。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查转动动力学中的角动量定理和动能定理的应用，涉及转动惯量、角动量、转动动能的计算。

解题思路：

  1. 冲量矩：根据角动量定理，外力矩的冲量矩等于角动量的变化量。需计算圆盘在第2秒初（t=1s）和末（t=2s）的角动量之差。
  2. 做功：根据动能定理，外力矩所做的功等于转动动能的变化量。需计算圆盘在第2秒初末的转动动能之差。

关键点：

  • 转动惯量公式：均质圆盘的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}mR^2$。
  • 角速度由 $\theta = 2t^2$ 求导得到 $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 4t$。
  • 角动量 $L = I\omega$，转动动能 $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$。

第（1）题：外力矩的冲量矩

计算转动惯量

均质圆盘的转动惯量为：
$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 16 \, \text{kg} \times (0.5 \, \text{m})^2 = 2 \, \text{kg·m}^2$

求角速度

由 $\theta = 2t^2$ 得角速度：
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 4t$

计算初末角动量

  • 第2秒初（t=1s）：$\omega_1 = 4 \times 1 = 4 \, \text{rad/s}$，角动量 $L_1 = I\omega_1 = 2 \times 4 = 8 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$。
  • 第2秒末（t=2s）：$\omega_2 = 4 \times 2 = 8 \, \text{rad/s}$，角动量 $L_2 = I\omega_2 = 2 \times 8 = 16 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$。

角动量变化与冲量矩

角动量变化 $\Delta L = L_2 - L_1 = 16 - 8 = 8 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$，根据角动量定理，外力矩的冲量矩为：
$M \Delta t = \Delta L \implies M \times 1 \, \text{s} = 8 \implies M = 8 \, \text{N·m·s}$

第（2）题：外力矩所做的功

计算初末转动动能

  • 第2秒初（t=1s）：转动动能 $E_{k1} = \frac{1}{2}I\omega_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \, \text{J}$。
  • 第2秒末（t=2s）：转动动能 $E_{k2} = \frac{1}{2}I\omega_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 8^2 = 64 \, \text{J}$。

动能变化与做功

根据动能定理，外力矩所做的功为：
$W = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = 64 - 16 = 48 \, \text{J}$