题目

设总体 X 的概率分布为 PX=1=(1-theta)/(2), PX=2=PX=3=(1+theta)/(4), 利用来自总体的样本值 1,3,2,2,1,3,1,2, 可得 theta 的最大似然估计值为().

设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}$, $P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$, 利用来自总体的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$, 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为().

题目解答

答案

我们来一步一步地求解这个最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）问题。 --- ### **题目回顾** 总体 $ X $ 的概率分布为： $$ P\{X=1\} = \frac{1 - \theta}{2}, \quad P\{X=2\} = \frac{1 + \theta}{4}, \quad P\{X=3\} = \frac{1 + \theta}{4} $$ 注意：这三个概率之和应为 1，我们验证一下： $$ \frac{1 - \theta}{2} + \frac{1 + \theta}{4} + \frac{1 + \theta}{4} = \frac{1 - \theta}{2} + \frac{2(1 + \theta)}{4} = \frac{1 - \theta}{2} + \frac{1 + \theta}{2} = \frac{(1 - \theta) + (1 + \theta)}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ 所以分布是合法的。 --- ### **样本数据** 给定的样本值为： $$ 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2 $$ 共 8 个数据。我们统计每个取值出现的频数： - $ X = 1 $ 出现了 3 次 - $ X = 2 $ 出现了 3 次 - $ X = 3 $ 出现了 2 次 --- ### **写出似然函数** 最大似然估计的基本思想是：在已知分布形式的情况下，找出使得观测样本出现概率最大的参数值。似然函数 $ L(\theta) $ 是样本联合概率： $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{8} P(X = x_i) = [P(X=1)]^{3} \cdot [P(X=2)]^{3} \cdot [P(X=3)]^{2} $$ 代入概率表达式： $$ L(\theta) = \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1 + \theta}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1 + \theta}{4} \right)^2 = \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1 + \theta}{4} \right)^{5} $$ 因为 $ (1+\theta)/4 $ 出现了 3 + 2 = 5 次。 --- ### **取对数似然函数** 为了方便求最大值，我们取对数： $$ \ln L(\theta) = \ln \left[ \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1 + \theta}{4} \right)^5 \right] = 3 \ln\left( \frac{1 - \theta}{2} \right) + 5 \ln\left( \frac{1 + \theta}{4} \right) $$ 拆开： $$ \ln L(\theta) = 3[\ln(1 - \theta) - \ln 2] + 5[\ln(1 + \theta) - \ln 4] = 3\ln(1 - \theta) + 5\ln(1 + \theta) - 3\ln 2 - 5\ln 4 $$ 注意：$ \ln 2 $ 和 $ \ln 4 = 2\ln 2 $ 是常数，不影响求极值。 --- ### **对 $ \theta $ 求导并令导数为 0** 我们对 $ \ln L(\theta) $ 关于 $ \theta $ 求导： $$ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 3 \cdot \frac{-1}{1 - \theta} + 5 \cdot \frac{1}{1 + \theta} = -\frac{3}{1 - \theta} + \frac{5}{1 + \theta} $$ 令导数为 0： $$ -\frac{3}{1 - \theta} + \frac{5}{1 + \theta} = 0 \Rightarrow \frac{5}{1 + \theta} = \frac{3}{1 - \theta} $$ 交叉相乘： $$ 5(1 - \theta) = 3(1 + \theta) \Rightarrow 5 - 5\theta = 3 + 3\theta \Rightarrow 5 - 3 = 5\theta + 3\theta \Rightarrow 2 = 8\theta \Rightarrow \theta = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ --- ### **验证参数范围** 我们需要检查 $ \theta $ 是否在合理范围内，使得所有概率在 $[0,1]$。由概率表达式： - $ P(X=1) = \frac{1 - \theta}{2} \in [0,1] \Rightarrow 1 - \theta \geq 0 \Rightarrow \theta \leq 1 $ - $ P(X=2) = \frac{1 + \theta}{4} \geq 0 \Rightarrow \theta \geq -1 $ 所以 $ \theta \in [-1, 1] $ 而 $ \theta = \frac{1}{4} = 0.25 \in [-1,1] $，是合法的。再验证概率值： - $ P(X=1) = \frac{1 - 0.25}{2} = \frac{0.75}{2} = 0.375 $ - $ P(X=2) = P(X=3) = \frac{1 + 0.25}{4} = \frac{1.25}{4} = 0.3125 $ 加起来：$ 0.375 + 0.3125 + 0.3125 = 1 $，没问题。 --- ### **结论** 因此，$ \theta $ 的最大似然估计值为： $$ \boxed{\frac{1}{4}} $$ --- ### **最终答案** $$ \boxed{\frac{1}{4}} $$

解析

考查要点：本题主要考查最大似然估计（MLE）的应用，需要根据给定的样本数据，推导出参数θ的估计值。

解题核心思路：

构造似然函数：根据样本中各取值出现的频数，将每个取值的概率相乘得到联合概率函数。
取对数简化计算：对似然函数取对数，转化为求和形式，便于求导。
求导并解方程：对对数似然函数关于θ求导，令导数为0，解方程得到θ的临界点。
验证参数范围：确保θ的取值使概率分布合法（所有概率非负且和为1）。

破题关键点：

正确统计样本频数：样本中X=1出现3次，X=2和X=3各出现3次和2次。
合并同类项：X=2和X=3的概率表达式相同，可合并为$(1+\theta)/4$的5次方。

1. 构造似然函数

样本中各取值出现的频数为：

$X=1$：3次
$X=2$：3次
$X=3$：2次

似然函数为：
$L(\theta) = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^2 = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^5$

2. 取对数似然函数

$\ln L(\theta) = 3 \ln \left( \frac{1-\theta}{2} \right) + 5 \ln \left( \frac{1+\theta}{4} \right)$
展开后：
$\ln L(\theta) = 3 \ln(1-\theta) - 3 \ln 2 + 5 \ln(1+\theta) - 5 \ln 4$

3. 求导并解方程

对$\theta$求导：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta}$
令导数为0：
$-\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{1+\theta} = \frac{3}{1-\theta}$
交叉相乘得：
$5(1-\theta) = 3(1+\theta) \quad \Rightarrow \quad 5 - 5\theta = 3 + 3\theta \quad \Rightarrow \quad 8\theta = 2 \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{1}{4}$

4. 验证参数范围

$P\{X=1\} = \frac{1-\theta}{2} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \theta \leq 1$
$P\{X=2\} = P\{X=3\} = \frac{1+\theta}{4} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \theta \geq -1$

$\theta = \frac{1}{4}$在区间$[-1, 1]$内，且所有概率和为1，合法。