题目
设(X_1, X_2, ..., X_(n_1))是来自总体X sim N(mu_1, sigma_1^2)的样本，(Y_1, Y_2, ..., Y_(n_2))是来自总体Y sim N(mu_2, sigma_2^2)的样本，且两样本相互独立，S_1^2，S_2^2分别为两个样本的样本方差，则F=(S_1^2/sigma_1^2)/(S_2^2/sigma_2^2) sim()。A. N(0, n_1+n_2)B. t(n_1+n_2)C. F(n_1-1, n_2-1)D. N(mu, (sigma_1^2 + sigma_2^2)/(n_1 + n_2))
设$(X_1, X_2, \cdots, X_{n_1})$是来自总体$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$的样本，$(Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2})$是来自总体$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$的样本，且两样本相互独立，$S_1^2$，$S_2^2$分别为两个样本的样本方差，则$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim$()。
A. $N(0, n_1+n_2)$
B. $t(n_1+n_2)$
C. $F(n_1-1, n_2-1)$
D. $N(\mu, \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{n_1 + n_2})$
题目解答
答案
C. $F(n_1-1, n_2-1)$
解析
步骤 1：样本方差的卡方分布
根据正态总体样本方差的性质，有： \[ \frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1-1), \quad \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2-1) \] 这里，$S_1^2$和$S_2^2$分别是来自总体$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$和$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$的样本方差，$n_1$和$n_2$分别是两个样本的样本量。
步骤 2：独立样本的卡方变量
由于两样本相互独立，因此两个卡方变量$\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}$和$\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}$也是相互独立的。
步骤 3：F分布的定义
统计量$F$可以表示为： \[ F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} = \frac{\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} / (n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} / (n_2-1)} \] 根据F分布的定义，分子和分母分别是自由度为$n_1-1$和$n_2-1$的卡方变量除以各自自由度，因此： \[ F \sim F(n_1-1, n_2-1) \]
根据正态总体样本方差的性质，有： \[ \frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1-1), \quad \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2-1) \] 这里，$S_1^2$和$S_2^2$分别是来自总体$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$和$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$的样本方差，$n_1$和$n_2$分别是两个样本的样本量。
步骤 2：独立样本的卡方变量
由于两样本相互独立，因此两个卡方变量$\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}$和$\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}$也是相互独立的。
步骤 3：F分布的定义
统计量$F$可以表示为： \[ F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} = \frac{\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} / (n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} / (n_2-1)} \] 根据F分布的定义，分子和分母分别是自由度为$n_1-1$和$n_2-1$的卡方变量除以各自自由度，因此： \[ F \sim F(n_1-1, n_2-1) \]