由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ=10.05,σ=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.05 ± 0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率。⏺

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，特别是利用3σ法则快速求解指定区间概率的能力。

解题核心思路：

1. 识别合格范围对应的σ倍数：题目中合格范围是均值μ的±0.12，而σ=0.06，因此0.12对应的是2σ。
2. 应用3σ法则：根据经验法则，数据分布在μ±2σ范围内的概率约为95.44%。
3. 计算不合格概率：用总概率1减去合格概率即可。

破题关键点：

• 正确转换区间到σ倍数，明确0.12对应2σ。
• 直接应用3σ法则的近似值，避免复杂的标准化计算。

设螺栓的长度为随机变量$X \sim N(\mu=10.05, \sigma=0.06)$，合格范围为$10.05 \pm 0.12$，即区间$(9.93, 10.17)$。

步骤1：确定区间对应的σ倍数

合格范围的半宽为$0.12$，而标准差$\sigma=0.06$，因此：
$0.12 = 2 \times 0.06 = 2\sigma$

步骤2：应用3σ法则

根据3σ法则：

• 数据落在$\mu \pm 2\sigma$范围内的概率约为$95.44\%$。
  因此，合格概率为：
  $P(9.93 < X < 10.17) = 95.44\%$

步骤3：计算不合格概率

不合格概率为总概率减去合格概率：
$P(\text{不合格}) = 1 - 95.44\% = 4.56\%$