题目
设总体 在 上服从均匀分布 ， 为未知参数 ， 为总体 上的一个样本，则的最大似然估计量为 _
设总体 
在 
上服从均匀分布 ，
为未知参数 ，
为总体 上的一个样本，则的最大似然估计量为 _
题目解答
答案
由题设可知总体 在 上服从均匀分布 ，则其概率密度为
似然函数
显然越大，
越大，但的必须满足
则当取
中最小值时，
取最大值；
故的最大似然估计量为
解析
步骤 1：确定概率密度函数
给定总体在区间 [a,1] 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{1-a}, & a < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：写出似然函数
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于独立同分布的样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\)，似然函数为：
\[ L(a) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \begin{cases}
\dfrac{1}{{(1-a)}^{n}}, & a < X_i < 1 \text{ 对所有 } i \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 3：确定似然函数的最大值
似然函数 \(L(a)\) 的值随着 \(a\) 的增大而增大，但 \(a\) 必须满足 \(a < X_i\) 对所有 \(i\)。因此，\(a\) 的最大值应为样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 中的最小值，以保证 \(L(a)\) 取得最大值。
给定总体在区间 [a,1] 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{1-a}, & a < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：写出似然函数
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于独立同分布的样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\)，似然函数为：
\[ L(a) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \begin{cases}
\dfrac{1}{{(1-a)}^{n}}, & a < X_i < 1 \text{ 对所有 } i \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 3：确定似然函数的最大值
似然函数 \(L(a)\) 的值随着 \(a\) 的增大而增大，但 \(a\) 必须满足 \(a < X_i\) 对所有 \(i\)。因此，\(a\) 的最大值应为样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 中的最小值，以保证 \(L(a)\) 取得最大值。