12.填空题（3分）设方阵A=}0&0&(1)/(2)0&3&04&0&0.

为了找到 $a$ 的值，我们需要确定矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。给定的矩阵 $A$ 为： \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 被给定为： \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 为了验证这个逆矩阵，我们需要检查 $A \cdot A^{-1} = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。单位矩阵 $I$ 为： \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 现在，我们计算 $A \cdot A^{-1}$： \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 我们通过计算每个元素来执行矩阵乘法： - 第一行第一列的元素是 $0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot a = \frac{a}{2}$。 - 第一行第二列的元素是 $0 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$。 - 第一行第三列的元素是 $0 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$。 - 第二行第一列的元素是 $0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$。 - 第二行第二列的元素是 $0 \cdot 0 + 3 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot 0 = 1$。 - 第二行第三列的元素是 $0 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$。 - 第三行第一列的元素是 $4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$。 - 第三行第二列的元素是 $4 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot 0 = 0$。 - 第三行第三列的元素是 $4 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$。 因此，乘积 $A \cdot A^{-1}$ 是： \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{a}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 为了使 $A \cdot A^{-1}$ 等于单位矩阵 $I$，必须有 $\frac{a}{2} = 1$。解 $a$，我们得到： \[ a = 2 \] 因此，$a$ 的值是 $\boxed{2}$。