.用导数定义,求 f(z)=zRez 的导数.

本题考查复变函数导数的定义。解题思路是先将复变函数$f(z)$用实部和虚部表示出来，然后根据导数定义$f^\prime(z)=\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$进行计算，通过分别考虑$\Delta y = 0$和$\Delta x = 0$两种特殊情况来确定极限是否存在，若极限存在则导数存在，若极限不存在则导数不存在。

1. 将函数$f(z)$用实部和虚部表示：
   设$z = x + iy$，则$f(z) = z \operatorname{Re}(z) = (x + iy)x = x^2 + ixy$。
2. 根据导数定义计算$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$：
   令$\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，则$z + \Delta z=(x + \Delta x)+i(y + \Delta y)$，那么$f(z + \Delta z) = (x + \Delta x)^2 + i(y + \Delta y)(x + \Delta x)$。
   计算$f(z + \Delta z) - f(z)$：
   $\begin{align*}f(z + \Delta z) - f(z)&=(x + \Delta x)^2 + i(y + \Delta y)(x + \Delta x)-(x^2 + ixy)\\&=x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + i(yx + y\Delta x + \Delta yx + \Delta y\Delta x)-x^2 - ixy\\&= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + i(y\Delta x + \Delta yx + \Delta y\Delta x)\end{align*}$
   所以$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + i(y\Delta x + \Delta yx + \Delta y\Delta x)}{\Delta x + i\Delta y}$。
3. 分别考虑$\Delta y = 0$和$\Delta x = 0$时的极限：
   • 当$\Delta y = 0$时，$\Delta z = \Delta x$，则$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + i(y\Delta x)}{\Delta x}=2x + iy$，此时极限为$2x + iy$。
   • 当$\Delta x = 0$时，$\Delta z = i\Delta y$，则$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{i(y\Delta y) + i\Delta yx + i\Delta y\Delta y}{i\Delta y}=x$，此时极限为$x$。
4. 判断导数是否存在：
   导数存在需极限唯一，即$2x + iy = x$，移项可得$x + iy = 0$，也就是$z = 0$时极限唯一，导数存在。
5. 计算$z = 0$时的导数：
   当$z = 0$时，$f^\prime(0) = \lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(0 + \Delta z) - f(0)}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta z \operatorname{Re}(\Delta z)}{\Delta z} = \lim\limits_{\Delta z \to 0} \operatorname{Re}(\Delta z) = 0$。