题目
3.设x_(1),x_(2),...,x_(16)是来自正态总体N(mu,4)的样本，考虑检验问题H_(0):mu=6 vs H_(1):muneq6,拒绝域取为W=overline{x)-6|geqslant c},试求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检验在mu=6.5处犯第二类错误的概率.
3.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{16}$是来自正态总体$N(\mu,4)$的样本，考虑检验问题
$H_{0}:\mu=6$ vs $H_{1}:\mu\neq6,$
拒绝域取为$W=\{\overline{x}-6|\geqslant c\},$试求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检验在$\mu=6.5$处犯第二类错误的概率.
题目解答
答案
1. **确定 $ c $ 的值：**
在 $ H_0: \mu = 6 $ 下，$\overline{x} \sim N(6, 0.25)$。
标准化得 $\frac{\overline{x} - 6}{0.5} \sim N(0, 1)$。
由显著性水平 $\alpha = 0.05$，得
\[
P\left(\left|\frac{\overline{x} - 6}{0.5}\right| \geq \frac{c}{0.5}\right) = 0.05 \implies \frac{c}{0.5} = 1.96 \implies c = 0.98.
\]
2. **计算第二类错误概率：**
当 $\mu = 6.5$ 时，$\overline{x} \sim N(6.5, 0.25)$。
\[
\beta = P(|\overline{x} - 6| < 0.98 \mid \mu = 6.5) = P(-2.96 < Z < 0.96) \approx 0.83.
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
c = 0.98, \\
\beta = 0.83.
\end{array}
}
\]