题目
3.设x_(1),x_(2),...,x_(16)是来自正态总体N(mu,4)的样本，考虑检验问题H_(0):mu=6 vs H_(1):muneq6,拒绝域取为W=overline{x)-6|geqslant c},试求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检验在mu=6.5处犯第二类错误的概率.
3.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{16}$是来自正态总体$N(\mu,4)$的样本，考虑检验问题
$H_{0}:\mu=6$ vs $H_{1}:\mu\neq6,$
拒绝域取为$W=\{\overline{x}-6|\geqslant c\},$试求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检验在$\mu=6.5$处犯第二类错误的概率.
题目解答
答案
1. **确定 $ c $ 的值：**
在 $ H_0: \mu = 6 $ 下，$\overline{x} \sim N(6, 0.25)$。
标准化得 $\frac{\overline{x} - 6}{0.5} \sim N(0, 1)$。
由显著性水平 $\alpha = 0.05$，得
\[
P\left(\left|\frac{\overline{x} - 6}{0.5}\right| \geq \frac{c}{0.5}\right) = 0.05 \implies \frac{c}{0.5} = 1.96 \implies c = 0.98.
\]
2. **计算第二类错误概率：**
当 $\mu = 6.5$ 时，$\overline{x} \sim N(6.5, 0.25)$。
\[
\beta = P(|\overline{x} - 6| < 0.98 \mid \mu = 6.5) = P(-2.96 < Z < 0.96) \approx 0.83.
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
c = 0.98, \\
\beta = 0.83.
\end{array}
}
\]
解析
本题主要考查正态总体下假设检验中显著性水平和第二类错误概率的计算。解题的关键在于利用正态分布的性质以及标准化变换来求解。
1. 确定 $c$ 的值
- 已知 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{16}$ 是来自正态总体 $N(\mu,4)$ 的样本，根据正态分布的性质，样本均值 $\overline{x}$ 服从正态分布 $N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，其中 $\sigma^{2}=4$，$n = 16$。
- 在原假设 $H_{0}:\mu = 6$ 成立的条件下，$\overline{x} \sim N(6,\frac{4}{16})=N(6, 0.25)$。
- 为了利用标准正态分布表进行计算，对 $\overline{x}$ 进行标准化变换，令 $Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，这里 $\mu = 6$，$\sigma = 2$，$n = 16$，则 $Z=\frac{\overline{x}-6}{2/\sqrt{16}}=\frac{\overline{x}-6}{0.5}\sim N(0, 1)$。
- 检验的显著性水平 $\alpha = 0.05$，拒绝域为 $W=\{\vert\overline{x}-6\vert\geqslant c\}$，那么 $\alpha = P(\vert\overline{x}-6\vert\geqslant c)$。
- 将 $\vert\overline{x}-6\vert\geqslant c$ 进行标准化，可得 $P(\vert\overline{x}-6\vert\geqslant c)=P\left(\left|\frac{\overline{x}-6}{0.5}\right|\geqslant\frac{c}{0.5}\right)$。
- 因为标准正态分布是对称的，$P\left(\left|\frac{\overline{x}-6}{0.5}\right|\geqslant\frac{c}{0.5}\right)=2P\left(\frac{\overline{x}-6}{0.5}\geqslant\frac{c}{0.5}\right)$，已知 $P\left(\left|\frac{\overline{x}-6}{0.5}\right|\geqslant\frac{c}{0.5}\right)=0.05$，所以 $P\left(\frac{\overline{x}-6}{0.5}\geqslant\frac{c}{0.5}\right)=\frac{0.05}{2}=0.025$。
- 查标准正态分布表可得 $\varPhi(1.96)=1 - 0.025 = 0.975$，即 $\frac{c}{0.5}=1.96$，解得 $c = 0.98$。
2. 计算该检验在 $\mu = 6.5$ 处犯第二类错误的概率
- 第二类错误是指原假设 $H_{0}$ 为假时接受 $H_{0}$ 的概率，记为 $\beta$。
- 当 $\mu = 6.5$ 时，$\overline{x} \sim N(6.5,\frac{4}{16})=N(6.5, 0.25)$。
- 接受域为 $\vert\overline{x}-6\vert\lt c$，即 $\vert\overline{x}-6\vert\lt 0.98$，可转化为 $- 0.98\lt\overline{x}-6\lt 0.98$，进一步得到 $6 - 0.98\lt\overline{x}\lt 6 + 0.98$，即 $5.02\lt\overline{x}\lt 6.98$。
- 对 $\overline{x}$ 进行标准化变换，$\beta = P(5.02\lt\overline{x}\lt 6.98\mid\mu = 6.5)=P\left(\frac{5.02 - 6.5}{0.5}\lt\frac{\overline{x}-6.5}{0.5}\lt\frac{6.98 - 6.5}{0.5}\right)$。
- 计算得 $P\left(\frac{5.02 - 6.5}{0.5}\lt\frac{\overline{x}-6.5}{0.5}\lt\frac{6.98 - 6.5}{0.5}\right)=P(-2.96\lt Z\lt 0.96)$。
- 根据标准正态分布的性质 $P(-2.96\lt Z\lt 0.96)=\varPhi(0.96)-\varPhi(-2.96)$，又因为 $\varPhi(-2.96)=1 - \varPhi(2.96)$，查标准正态分布表可得 $\varPhi(0.96)\approx0.8315$，$\varPhi(2.96)\approx0.9985$，则 $\varPhi(-2.96)=1 - 0.9985 = 0.0015$。
- 所以 $\beta=\varPhi(0.96)-\varPhi(-2.96)=0.8315-0.0015 = 0.83$。