题目
4.某自动包装机包装洗衣粉,其重量服从正态分布,今随机抽查12袋,测-|||-得其重量(单位:g )分别为1001,1004,1003,1000,997,999,1004,-|||-1000,996,1002,998,999.-|||-(1)求:平均袋重μ的点估计值;(2)求:方差σ^2的点估计值;(3)求: μ-|||-的置信度为95%的置信区间;(4)求:σ^2的置信度为95%的置信区间;(5)若-|||-已知 σ^2=9, 求:μ的置信度为95 %的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算平均袋重μ的点估计值
平均袋重μ的点估计值为样本均值$\overline{X}$，计算方法为所有样本值的和除以样本数量。
步骤 2：计算方差σ^2的点估计值
方差σ^2的点估计值为样本方差$S^2$，计算方法为每个样本值与样本均值之差的平方和除以样本数量减一。
步骤 3：计算μ的置信度为95%的置信区间
μ的置信度为95%的置信区间为$(\overline{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，其中$t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$为t分布的临界值，$\alpha=0.05$，$n=12$。
步骤 4：计算σ^2的置信度为95%的置信区间
σ^2的置信度为95%的置信区间为$(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)})$，其中$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$和$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$为卡方分布的临界值，$\alpha=0.05$，$n=12$。
步骤 5：计算已知σ^2=9时μ的置信度为95%的置信区间
已知σ^2=9时μ的置信度为95%的置信区间为$(\overline{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，其中$z_{1-\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的临界值，$\alpha=0.05$，$n=12$，$\sigma=\sqrt{9}=3$。
平均袋重μ的点估计值为样本均值$\overline{X}$，计算方法为所有样本值的和除以样本数量。
步骤 2：计算方差σ^2的点估计值
方差σ^2的点估计值为样本方差$S^2$，计算方法为每个样本值与样本均值之差的平方和除以样本数量减一。
步骤 3：计算μ的置信度为95%的置信区间
μ的置信度为95%的置信区间为$(\overline{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，其中$t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$为t分布的临界值，$\alpha=0.05$，$n=12$。
步骤 4：计算σ^2的置信度为95%的置信区间
σ^2的置信度为95%的置信区间为$(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)})$，其中$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$和$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$为卡方分布的临界值，$\alpha=0.05$，$n=12$。
步骤 5：计算已知σ^2=9时μ的置信度为95%的置信区间
已知σ^2=9时μ的置信度为95%的置信区间为$(\overline{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，其中$z_{1-\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的临界值，$\alpha=0.05$，$n=12$，$\sigma=\sqrt{9}=3$。