题目
设 X sim N(0,1), Y sim x^2(n)，且 X, Y 相互独立，则 (X)/(sqrt(Y)) sqrt(n) ~A. t(n)B. t(n-1)C. F(1,n)D. F(n,1)
设 $X \sim N(0,1)$, $Y \sim x^2(n)$，且 $X$, $Y$ 相互独立，则 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ ~
A. $t(n)$
B. $t(n-1)$
C. $F(1,n)$
D. $F(n,1)$
题目解答
答案
A. $t(n)$
解析
步骤 1：理解分布
$X \sim N(0,1)$ 表示 $X$ 是标准正态分布的随机变量，$Y \sim x^2(n)$ 表示 $Y$ 是自由度为 $n$ 的卡方分布的随机变量。$X$ 和 $Y$ 相互独立。
步骤 2：构造 $t$ 分布
$t$ 分布的定义是：如果 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim x^2(n)$，且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作 $T \sim t(n)$。
步骤 3：应用定义
根据 $t$ 分布的定义，$\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 可以写成 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$，这正是 $t$ 分布的定义形式，因此 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n} \sim t(n)$。
$X \sim N(0,1)$ 表示 $X$ 是标准正态分布的随机变量，$Y \sim x^2(n)$ 表示 $Y$ 是自由度为 $n$ 的卡方分布的随机变量。$X$ 和 $Y$ 相互独立。
步骤 2：构造 $t$ 分布
$t$ 分布的定义是：如果 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim x^2(n)$，且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作 $T \sim t(n)$。
步骤 3：应用定义
根据 $t$ 分布的定义，$\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 可以写成 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$，这正是 $t$ 分布的定义形式，因此 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n} \sim t(n)$。