题目
设 x_n 为单调数列，且 x_n neq 0，n geq 1。则下面不成立的是 ____。A. forall y_n, y_n to 0，有 x_n y_n to 0，则 x_n 收敛B. lim_(n to infty) (x_(n+1))/(x_n) = 1 时，必有 x_n 收敛C. x_(2n) 有界时，必有 x_n 收敛D. x_(2n) 收敛时，必有 x_n 收敛
设 $x_n$ 为单调数列，且 $x_n \neq 0$，$n \geq 1$。则下面不成立的是 ____。
A. $\forall y_n, y_n \to 0$，有 $x_n y_n \to 0$，则 $x_n$ 收敛
B. $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1$ 时，必有 $x_n$ 收敛
C. $x_{2n}$ 有界时，必有 $x_n$ 收敛
D. $x_{2n}$ 收敛时，必有 $x_n$ 收敛
题目解答
答案
B. $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1$ 时，必有 $x_n$ 收敛
解析
步骤 1：分析选项A
若对任意 $y_n \to 0$，有 $x_n y_n \to 0$，则 $x_n$ 必须有界（否则可取 $y_n = \frac{1}{x_n}$ 导致矛盾）。单调有界数列必收敛，故A成立。
步骤 2：分析选项B
取 $x_n = n$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1$，但 $x_n$ 发散，故B不成立。
步骤 3：分析选项C
$x_{2n}$ 有界，结合单调性知 $x_n$ 有界，单调有界数列收敛，故C成立。
步骤 4：分析选项D
$x_{2n}$ 收敛，单调数列的子列收敛 implies 全数列收敛，故D成立。
若对任意 $y_n \to 0$，有 $x_n y_n \to 0$，则 $x_n$ 必须有界（否则可取 $y_n = \frac{1}{x_n}$ 导致矛盾）。单调有界数列必收敛，故A成立。
步骤 2：分析选项B
取 $x_n = n$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1$，但 $x_n$ 发散，故B不成立。
步骤 3：分析选项C
$x_{2n}$ 有界，结合单调性知 $x_n$ 有界，单调有界数列收敛，故C成立。
步骤 4：分析选项D
$x_{2n}$ 收敛，单调数列的子列收敛 implies 全数列收敛，故D成立。