26.设总体密度函数为 p(x)=6x(1-x) lt xlt 1 ,x1,x2,···,x9是来自该总体的-|||-样本,试求样本中位数的分布.

考查要点：本题主要考查样本中位数的分布，涉及次序统计量的分布推导及渐近分布的应用。

解题核心思路：

1. 总体分布函数：通过积分密度函数得到总体分布函数$F(x)$。
2. 次序统计量公式：样本中位数为第5个次序统计量，利用次序统计量的密度函数公式计算精确分布。
3. 渐近分布：利用中心极限定理，近似样本中位数的正态分布。

破题关键点：

• 正确计算组合数：次序统计量的系数为$\binom{9}{4}$。
• 因式分解简化表达式：将$F(x)$和$1-F(x)$分解为多项式形式，简化最终表达式。
• 渐近分布参数：总体中位数为$0.5$，结合密度函数值计算渐近分布的方差。

1. 计算总体分布函数$F(x)$

总体密度函数为$p(x)=6x(1-x)$，分布函数为：
$F(x) = \int_{0}^{x} 6t(1-t) \, dt = 3x^2 - 2x^3 = x^2(3-2x), \quad 0 \leq x \leq 1.$

2. 样本中位数的精确分布

样本中位数为第5个次序统计量$X_{(5)}$，其密度函数为：
$f_{X_{(5)}}(x) = \binom{9}{4} [F(x)]^4 [1-F(x)]^4 p(x).$
代入$F(x)=x^2(3-2x)$，$1-F(x)=(1-x)^2(2x+1)$，$p(x)=6x(1-x)$，得：
$f_{X_{(5)}}(x) = 126 \cdot [x^2(3-2x)]^4 \cdot [(1-x)^2(2x+1)]^4 \cdot 6x(1-x).$
化简后为：
$f_{X_{(5)}}(x) = 756 \, x^9 (1-x)^9 (3-2x)^4 (2x+1)^4.$
注意：题目答案中的系数$3780$可能存在错误，正确系数应为$756$。

3. 渐近分布

总体中位数为$x_{0.5}=0.5$，密度值$p(x_{0.5})=1.5$。渐近分布为：
$X_{(5)} \sim N\left(0.5, \frac{1}{4 \cdot 9 \cdot (1.5)^2}\right) = N\left(0.5, \frac{1}{81}\right).$