题目

某厂生产的螺钉长度approx N(mu ,(sigma )^2)。现测得6个螺钉的长度为:19,21,20,20,17,23求:(1)螺钉长度均值approx N(mu ,(sigma )^2)的0.95置信区间;(2)螺钉长度方差approx N(mu ,(sigma )^2)的0.95置信区间.approx N(mu ,(sigma )^2)

某厂生产的螺钉长度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 。现测得6个螺钉的长度为:

19,21,20,20,17,23

求:(1)螺钉长度均值 $\mu$ 的0.95置信区间;

(2)螺钉长度方差 $\sigma^2$ 的0.95置信区间.

$(注：t_{0.025}(5)=2.57,\chi_{0.025}^2(5)=12.83,\chi_{0.975}^2(5)=0.83,\sqrt[]{6}=2.45)$

题目解答

答案

首先，我们需要计算样本的平均值 $\overline{X}$ 和样本的方差 $s^2$ 。给定的螺钉长度为19, 21, 20, 20, 17, 23，所以

$\overline{X}=\frac{19+21+20+20+17+23}{6}=20$

$s^2=\frac{(19-20)^2+(21-20)^2+(20-20)^2+(20-20)^2+(17-20)^2+(23-20)^2}{6-1}=4$

(1) 螺钉长度均值 $\mu$ 的0.95置信区间为

$\overline{X}\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\times\frac{s}{\sqrt{n}}$

代入数值，我们得到

$20\pm2.57\times\frac{2}{2.45}=(18.05,21.95)$

(2) 螺钉长度方差 $\sigma^2$ 的0.95置信区间为

$\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)},\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}\right)$

代入数值，我们得到

$\left(\frac{5\times4}{12.83},\frac{5\times4}{0.83}\right)=(1.56,24.10)$

解析

步骤 1：计算样本均值
给定的螺钉长度为19, 21, 20, 20, 17, 23，样本均值$\overline{x}$计算如下：
$$\overline{x} = \frac{19 + 21 + 20 + 20 + 17 + 23}{6} = 20$$
步骤 2：计算样本方差
样本方差$s^2$计算如下：
$$s^2 = \frac{(19-20)^2 + (21-20)^2 + (20-20)^2 + (20-20)^2 + (17-20)^2 + (23-20)^2}{6-1} = 4$$
步骤 3：计算均值的0.95置信区间
均值的0.95置信区间计算如下：
$$\overline{x} \pm t_{0.025}(5) \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 20 \pm 2.57 \times \frac{2}{2.45} = (18.05, 21.95)$$
步骤 4：计算方差的0.95置信区间
方差的0.95置信区间计算如下：
$$\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(5)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(5)}\right) = \left(\frac{5 \times 4}{12.83}, \frac{5 \times 4}{0.83}\right) = (1.56, 24.10)$$