题目

本月的 10 日至 17 日由甲、乙、丙、丁四人值班，每人值班两天。经过分配，每个人值班日期的数字之和相等。已知甲 17 日值班，乙 12 日值班、丙 14 日值班，那么丁的值班日期是（ ）。A. 13 日和 15 日B. 10 日和 11 日C. 15 日和 16 日D. 11 日和 16 日

本月的 10 日至 17 日由甲、乙、丙、丁四人值班，每人值班两天。经过分配，每个人值班日期的数字之和相等。已知甲 17 日值班，乙 12 日值班、丙 14 日值班，那么丁的值班日期是（ ）。 A. 13 日和 15 日 B. 10 日和 11 日 C. 15 日和 16 日 D. 11 日和 16 日

题目解答

答案

我们来一步步分析这道题。

题目信息整理：

  • 日期范围：10 日到 17 日，共 8 天。
  • 值班人员：甲、乙、丙、丁，共 4 人。
  • 每人值班 2 天，总共 4 × 2 = 8 天，正好覆盖 8 天，没有重复或遗漏。
  • 每个人的 值班日期的数字之和相等。
  • 已知：
    • 甲在 17 日值班；
    • 乙在 12 日值班；
    • 丙在 14 日值班。
  • 问：丁的值班日期是哪两天？

选项：
A. 13 日和 15 日
B. 10 日和 11 日
C. 15 日和 16 日
D. 11 日和 16 日

第一步：计算所有日期的总和

日期是：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

求和：

$10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17$

我们可以用等差数列求和公式：

首项 10，末项 17，项数 8：

$\text{总和} = \frac{8}{2} \times (10 + 17) = 4 \times 27 = 108$

四个人，每人值班两天，且每人值班日期之和相等。

所以每个人的日期和为：

$\frac{108}{4} = 27$

✅ 每个人值班的两天日期之和为 27。

第二步：利用已知条件，推断每个人的值班日

甲：已知 17 日值班，另一天是？

设甲的另一天为 $ x $，则：

$x + 17 = 27 \Rightarrow x = 10$

所以甲的值班日是：10 日和 17 日

→ 甲：10, 17

乙：已知 12 日值班，另一天是？

设另一天为 $ y $，则：

$y + 12 = 27 \Rightarrow y = 15$

所以乙的值班日是：12 日和 15 日

→ 乙：12, 15

丙：已知 14 日值班，另一天是？

设另一天为 $ z $，则：

$z + 14 = 27 \Rightarrow z = 13$

所以丙的值班日是：13 日和 14 日

→ 丙：13, 14

现在统计已分配的日期：

  • 甲：10, 17
  • 乙：12, 15
  • 丙：13, 14

已用日期：10, 12, 13, 14, 15, 17

还剩下哪两天？
总日期：10,11,12,13,14,15,16,17

未被使用的：11, 16

→ 所以丁的值班日只能是：11 日和 16 日

验证丁的日期和：

$11 + 16 = 27$

✅ 符合每人日期和为 27 的条件。

再验证所有条件：

  • 每人两天：是
  • 所有日期都用了，无重复：10,11,12,13,14,15,16,17 → 全部覆盖
  • 每人日期和为 27：
    • 甲：10+17=27
    • 乙：12+15=27
    • 丙：13+14=27
    • 丁：11+16=27
  • 已知条件满足：
    • 甲有17日 ✅
    • 乙有12日 ✅
    • 丙有14日 ✅

看选项：

A. 13 和 15 → 被丙和乙用了，不行
B. 10 和 11 → 10被甲用了，11可用，但10不能再用
C. 15 和 16 → 15被乙用了
D. 11 和 16 → ✅ 正确

答案：

$\boxed{\text{D. 11 日和 16 日}}$

解析

本题考查等差数列求和公式的应用以及逻辑推理能力。解题的关键思路是先通过等差数列求和公式算出$10$日到$17$日所有日期的总和，再根据四人每人值班两天且值班日期数字之和相等，求出每人值班日期的和，最后结合已知条件依次确定甲、乙、丙的值班日期，进而得出丁的值班日期。

  1. 计算所有日期的总和：
    已知日期是$10$，$11$，$12$，$13$，$14$，$15$，$16$，$17$，这是一个首项$a_1 = 10$，末项$a_8 = 17$，项数$n = 8$的等差数列。
    根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n}{2}\times(a_1 + a_n)$，可得：
    $S_8=\frac{8}{2}\times(10 + 17)=4\times27 = 108$
    因为四个人每人值班两天，且每人值班日期之和相等，所以每个人的日期和为：
    $\frac{108}{4}=27$
    即每个人值班的两天日期之和为$27$。
  2. 利用已知条件，推断每个人的值班日：
    • 甲的值班日期：
      已知甲$17$日值班，设甲的另一天值班日期为$x$，则$x + 17 = 27$，解得$x = 27 - 17 = 10$。
      所以甲的值班日是$10$日和$17$日。
    • 乙的值班日期：
      已知乙$12$日值班，设乙的另一天值班日期为$y$，则$y + 12 = 27$，解得$y = 27 - 12 = 15$。
      所以乙的值班日是$12$日和$15$日。
    • 丙的值班日期：
      已知丙$14$日值班，设丙的另一天值班日期为$z$，则$z + 14 = 27$，解得$z = 27 - 14 = 13$。
      所以丙的值班日是$13$日和$14$日。
  3. 确定丁的值班日期：
    已分配的日期有$10$，$12$，$13$，$14$，$15$，$17$，总日期为$10$，$11$，$12$，$13$，$14$，$15$，$16$，$17$，所以未被使用的日期是$11$和$16$，即丁的值班日是$11$日和$16$日。
    验证丁的日期和：$11 + 16 = 27$，符合每人日期和为$27$的条件。