题目

某工厂要求一种元件的使用寿命不得低于 小时， 现从一批这种元件中随机抽取 件， 获得其平均寿命为 小时，已知该元件的使用寿命服从正态分布，总体标准差为 小时，试在 的显著性水平上确定这批元件是否合格。

某工厂要求一种元件的使用寿命不得低于  小时， 现从一批这种元件中随机抽取  件， 获得其平均寿命为  小时，已知该元件的使用寿命服从正态分布，总体标准差为  小时，试在  的显著性水平上确定这批元件是否合格。

题目解答

答案

这是一个单样本均值的假设检验问题，应该采用单样本  检验。具体步骤如下：

1.提出假设：

零假设 ：这批元件的使用寿命低于  小时，即总体均值 。

对立假设 ：这批元件的使用寿命不低于  小时，即总体均值。

2.选择显著性水平和检验统计量：

显著性水平为 ，因为题目中要在  的显著性水平上进行检验。

检验统计量为单样本  统计量：

 

其中， 为样本均值， 为假设的总体均值， 为样本标准差， 为样本容量。

3.计算检验统计量的值：

样本均值 ，总体标准差 ，样本容量 ，因此检验统计量为：

4.计算  值：

由于这是一个单尾检验，即对立假设为总体均值大于 ，因此需要计算  分布在  统计量左侧的概率：

5.做出决策：

由于  值小于显著性水平，因此拒绝零假设，即这批元件不合格。

综上所述，这批元件不合格，因为其使用寿命低于  小时。

解析

步骤 1：提出假设
零假设 $H_0$：这批元件的使用寿命低于 008 小时，即总体均值 $\mu \leqslant 800$。
对立假设 $H_1$：这批元件的使用寿命不低于 008 小时，即总体均值 $\mu > 800$。

步骤 2：选择显著性水平和检验统计量
显著性水平为 $\alpha = 0.10$，因为题目中要在 90% 的显著性水平上进行检验。
检验统计量为单样本 $Z$ 统计量：
$Z = \dfrac {(\bar{x} - \mu_0)}{(\dfrac {\sigma}{\sqrt{n}})}$
其中，$\bar{x}$ 为样本均值，$\mu_0$ 为假设的总体均值，$\sigma$ 为总体标准差，$n$ 为样本容量。

步骤 3：计算检验统计量的值
样本均值 $\bar{x} = 68L$，总体标准差 $\sigma = 6$，样本容量 $n = 49$，因此检验统计量为：
$Z = \dfrac {(68L - 800)}{(\dfrac {6}{\sqrt{49}})} = \dfrac {(68L - 800)}{(\dfrac {6}{7})} = \dfrac {(68L - 800)}{0.8571}$
$Z = \dfrac {(68L - 800)}{0.8571} = \dfrac {(-112)}{0.8571} = -130.67$

步骤 4：计算 $p$ 值
由于这是一个单尾检验，即对立假设为总体均值大于 800，因此需要计算标准正态分布 $Z$ 在检验统计量左侧的概率：
$p = P(Z < -130.67)$
由于 $Z$ 的值非常大，$p$ 值将非常接近于 0。

步骤 5：做出决策
由于 $p$ 值远小于显著性水平 $\alpha = 0.10$，因此拒绝零假设，即这批元件不合格。