简答题题型说明：请将你的解题步骤拍照上传41. (10.0分)求函数y=x^3-3x^2-9x+5的单调区间与极值。_

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，涉及导数的计算、临界点的求解、导数符号变化的判断以及极值的计算。

解题核心思路：

1. 求导数：确定函数的导数，找到导数为零的点（临界点）。
2. 划分区间：根据临界点将定义域分成若干区间。
3. 判断单调性：通过测试点确定导数在各区间的符号，从而判断函数的单调性。
4. 求极值：根据导数在临界点处的符号变化，确定极大值或极小值，并计算对应函数值。

破题关键点：

• 正确求导：注意多项式函数的导数规则。
• 准确解方程：求导数为零的点时，需正确因式分解或使用求根公式。
• 符号分析：通过测试点判断导数的正负，确定单调性。
• 极值判定：导数符号变化决定极大值或极小值。

1. 求导数

函数为 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$，求导得：
$y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$

2. 求临界点

令 $y' = 0$，解得：
$3(x + 1)(x - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \text{ 或 } x = 3$

3. 确定单调区间

将数轴分为三个区间，通过测试点判断导数符号：

• 当 $x \in (-\infty, -1)$ 时，取测试点 $x = -2$，代入 $y'$：
  $y' = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 15 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{函数单调递增}$
• 当 $x \in (-1, 3)$ 时，取测试点 $x = 0$，代入 $y'$：
  $y' = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{函数单调递减}$
• 当 $x \in (3, +\infty)$ 时，取测试点 $x = 4$，代入 $y'$：
  $y' = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 15 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{函数单调递增}$

4. 求极值

• 极大值：在 $x = -1$ 处，导数由正变负，故为极大值点：
  $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = 10$
• 极小值：在 $x = 3$ 处，导数由负变正，故为极小值点：
  $f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = -22$