5/25 选择题 (4分)函数f(x)=1/x在x=0处()。A. 不连续B. 连续C. 可导D. 可微

本题考查函数在某点的连续性、可导性与可微性的概念及判断方法。解题的关键在于依据这些概念的定义，分别判断函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处是否满足相应条件。

1. 判断函数在$x = 0$处的连续性

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
对于函数$f(x)=\frac{1}{x}$，其定义域为$x\neq0$，即$f(0)$无定义。
因为函数在某点连续的前提是该点有定义，而$f(0)$不存在，所以函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处不连续。

2. 判断函数在$x = 0$处的可导性

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在。
由于函数在$x = 0$处不连续，而可导的函数一定连续，所以函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处不可导。

3. 判断函数在$x = 0$处的可微性

函数$y = f(x)$在点$x$处可微的定义为$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$（其中$A$为常数，$o(\Delta x)$是$\Delta x$的高阶无穷小），且可微与可导是等价的。
因为函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处不可导，所以函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处不可微。